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1、第六节极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则二、两个重要极限一、极限存在准则1.夹逼准则准则I若数列代、儿、乙满足下列条件:从某项起，即，当nn0时，有儿X(2)lim儿二a,limzn=a,n-oo/?oo则的极限存在,且limX*=a.MTS证当一00时，儿g:.V0,3N0,“20,使得当nNx时，有yn-aN2时，有zn-aN时，上面两式同时成立，艮卩,CI儿a+冃CIZnN时，有a-ynxnznM)时,g(x)f(x)0)H00Z2TOO例2lim“l+2+3+4moo解4“1+2+3+4单调数列2xnxn+1兀2百+i，单调减少.准则n单调有界数列必有极限例3证明数列=#3+的极
2、限存在+語（重根式）证显然心,.&”是单调递增的；又：X=忑3,假定xk3,xk+l=J3+忑a/3+3(Xa0,设+1=Jx”+)2求limMTooX抽扌2a:.4axz?+1xn兀故，n+1)A=J,ncolimxn=4a.n-oo/AOB的面积V扇形AOB的面积/AOD的面积二、两个重要极限litn巴匕=1XTO%证：当（0,今）时，有1 于是，sinxjx|tanxx1上式除以一sin兀可得，1sinxcosx（续）当xu（却0）时，则于是sin(-x)(-x)2221Xsin(-x)tan(-x)sin(-x)综上,cosxn”1(0x|f)当Ov2时，0vosm22(2)=2xe(
3、-f,0)lim(l-cosx)=0(夹逼准则)故，1vsinx1如lim=1xtO兀(2)注意lim=0.X丄、十tanx求lim0X原式=亦竺XT0X1=14=1COSX求lim1cosX%22sin21 原式=lim=-limKTOX2XT0sin=-lim()22 xox2limx-0arcsinxx解：令t=arcsin兀贝h=siin，且x0时，t0原式=lim宀sin/=limnosin/=1例8求limxsinXTOOX.1sm解：原式=lim=lim里U二1XToo1/T0tX例9求/二lim里旦兀-0sin2xstan3x2x3x3解：原式=lim=-xtO3xsm2x2x
4、2(2q+fq+:+d+i+-l)(qEHXIuqdo+iy+:+Flv+1Hxq+EH+IK(I+MS：(ISMI(IMvUOOTl/iui+I)w=来00-X，(+-)(II)类似地，百+i=1+1+习a一齐y)+I。12n1H(1)(1)(1)nln+1n+2n+1+_J_(1_)(1_).(1_J.(+l)!n+1n+2n+显然兀+i&，二R是单调递增的；11il.iioQX*V1+1+习+/v1+1+3+盯=3-尹00记为血1(1+丄)=ns17(幺=2.71828)HOOTX亍+SWHSTHXSTH9好+-)、OT(X)诸论巔収(z)KSTH.m+-)旨例11.求下列极限(1)lim(l-i)x(2)lim(l+|rXT8XToo解：(1)令t=-X,则lim(1-=lim(l+|)r=lim-XTOOXtsttg(+l)/tX(2)原式二lim(l+yF=/兀Too说明：若利用lim0（X）TOO兀）(1)原式=lim(l+士厂x00则练习求2lim(l)5X00兀解原式二二lim(l+)2T二茁10xsx作业习题16P561(4,5,6),2(2,4),4(2,3,5)
