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1、第二章整式1单项式：1.单项式的概念由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a,5.判断下列各代数式哪些是单项式?(1)； (2)abc； (3)b2； (4)5ab2； (5)y； (6)xy2； (7)5.2.单项式系数和次数单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式a2h,2r,abc,m的系数和次数.例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数.x1； ； r2； a2b.例2.下面各题的判断是否正确?7xy2的系数是7； x2y3与x3没有系数； ab3c2的次数是032；a3的系数是1； 32
2、x2y3的次数是7； r2h的系数是.注意：圆周率是常数；当一个单项式的系数是1或1时,“1”通常省略不写,如x2,a2b等；单项式次数只与字母指数有关.2多项式1列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a、b,则长方形的周长是 ；(2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生 人_；(3)图中阴影部分的面积为_；(4)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头 个,脚 只.2观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别.(1)2(ab); (2)21x ; (3)ab ; (4)2a4b .几个单项式的和叫做多项式(polynomial).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其
3、中,不含字母的项,叫做常数项(constant term).例如,多项式有三项,它们是,2x,5.其中5是常数项.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式是一个二次三项式.单项式与多项式统称整式(integral expression).注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数.(2)多项式的每一项都包括它前面的符号.例1.判断：多项式a3a2ab2b3的项为a3、a2、ab2、b3,次数为12；多项式3n42n21的次数为4,常数项为1.例2.指出下列多项式的项和次数：(1)3x13x2； (2)4x32
4、x2y2.例3.指出下列多项式是几次几项式.(1)x3x1； (2)x32x2y23y2.例4.已知代数式3xn(m1)x1是关于x的三次二项式,求m、n的条件. 课堂练习：填空：a2bab1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 .已知代数式2x2mnx2y2是关于字母x、y的三次三项式,求m、n的条件.3多项式的升(降)幂排列请运用加法交换律,任意交换多项式x2x1中各项的位置,可以得到几种不同的排列方式?在众多的排列方式中,你认为那几种比较整齐?1升幂排列与降幂排列：有两种排列x的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列.例如：把多
5、项式5x23x2x31按x的指数从大到小的顺序排列,可以写成2x35x23x1,这叫做这个多项式按字母x的降幂排列.若按x的指数从小到大的顺序排列,则写成13x5x22x3,这叫做这个多项式按字母x的升幂排列.例1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来.11x7y535x32y7xy33x2y2例如： 2y3x2y235x3按x降幂排列：例2.把多项式2r13r32r2按r升幂排列.例3.把多项式a3b33a2b3ab2重新排列.(1)按a升幂排列； (2)按a降幂排列.想一想：观察上面两个排列,从字母b的角度看,它们又有何特点?例4.把多项式12x2xx
6、3y用适当的方式排列.例5.把多项式x4y43x3y2xy25x2y3用适当的方式排列.(1)按字母x的升幂排列得： ；(2)按字母y的升幂排列得： .小结：对一个多项式进行排列,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.在排列时我们要注意:(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“”号交换到后面时要添上；(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.4.同类项创设问题情境、5个人+8个人=、5只羊+8只羊=、5个人+8只羊=观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类.8x2y,mn2, 5a,x2y, 7mn2, ,
7、 9a, , 0, 0.4mn2, ,2xy2我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x2y与x2y可以归为一类,2xy2与可以归为一类,mn2、7mn2与0.4mn2可以归为一类,5a与9a可以归为一类,还有、0与也可以归为一类.8x2y与x2y只有系数不同,各自所含的字母都是x、y,并且x的指数都是2,y的指数都是1；同样地,2xy2与也只有系数不同,各自所含的字母都是x、y,并且x的指数都是1,y的指数都是2.像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(similar terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的、0与也是同类项.例1.判断下列说法是
8、否正确,正确地在括号内打“”,错误的打“”.(1)3x与3mx是同类项. ( ) (2)2ab与5ab是同类项. ( )(3)3x2y与yx2是同类项. ( ) (4)5ab2与2ab2c是同类项. ( )(5)23与32是同类项. ( )例2.指出下列多项式中的同类项：(1)3x2y13y2x5； (2)3x2y2xy2xy2yx2.例3.k取何值时,3xky与x2y是同类项?例4.若把(st)、(st)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项.(1)(st)(st)(st)(st)； (2)2(st)3(st)25(st)8(st)2st.课堂练习：1.请写出2ab2c3的一个同类项你能写
9、出多少个?它本身是自己的同类项吗?2.若2amb2m+3n与a2n3b8的和仍是一个单项式,则m与 n的值分别是_ 5.整式的加减为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问：他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?若设软面抄的单价为每本x元,水笔的单价为每支y元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x25
10、y)元.由此可得：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项的法则：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.例1.找出多项式3x2y4xy235x2y2xy25种的同类项,并合并同类项.例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.(1)2x23x2=5x4； (2)3x2y=5xy； (3)7x23x2=4； (4)9a2b9ba2=0.例3.合并下列多项式中的同类项： (1) 2a2b3a2b0.5a2b； (2)a3a2bab2a2bab2b3；(3)5(xy)32(xy)42(xy)3(yx)4.例4.求多项式3x24x2x2xx23x1的
11、值,其中x=3.试一试：把x3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便? 例1化简下列各式： (1)8a+2b+（5ab）； （2）（5a3b）3（a22b） (2)计算：5xy23xy2（4xy22x2y）+2x2yxy2 5xy2 小结去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“”号时,括号连同括号前面的“”号去掉,括号里的各项都改变符号去括号规律可以简单记为“”变“”不变,要变全都变当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口
12、溜：去括号,看符号：是“+”号,不变号；是“”号,全变号. 不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为：（）如果有括号,那么先去括号.（）如果有同类项,再合并同类项.例1.求整式x27x2与2x2+4x1的差.练习：一个多项式加上5x24x3与x23x,求这个多项式.例2.计算：2y3+(3xy2x2y)2(xy2y3). 例3.化简求值:(2x3xyz)2(x3y3+xyz)+(xyz2y3),其中x=1,y=2,z=3.复习题1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式.,4xy,x2+x+,0,m,2.011052.指出下列单项式的系数、次数：ab,x2,xy5,.3.指出多项式a3a2bab2+b31是几次几项式,最高次项、常数项各是什么?4.化简,并将结果按x的降幂排列：(1)(2x45x24x+1)(3x35x23x)；(2)(x+)(x1)；(3)3(x22xy+y2)+ (2x2xy2y2).5.化简、求值：5ab23ab(4ab2+ab)5ab2,其中a=,b=.6.一个多项式加上2x3+4x2y+5y3后,得x3x2y+3y3,求这个多项式,并求当x=,y=时,这个多项式的值.7如果关于的两个多项式与的次数相同,求的值.
