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1、人教版九年级数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：22 只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式： ax + bx + c = 0(a 0).其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。21.2 降次解一
2、元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1） ） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数， 可以直接开平方。 一般地，a ,x 2=a2对于形如 x =a(a 0) 的方程，根据平方根的定义可解得x1=.2（2） ） 直接开平方法适用于解形如x =p 或(mx+a) 平方法。2=p(m 0) 形式的方程，如果p 0，就可以利用直接开（3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个， 它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4） ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知
3、数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（ 1） 把常数项移到等号的右边；方程两边都除以二次项系数；方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。21.2.2 公式法知识点一公式法解一元二次方程22（1） ） 一般地 ， 对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a 0) ，
4、 如果 b -4ac 0 ， 那么方程的两 个根为2bb4acx=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元2a二方程的系数 a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。2（2） ） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax +bx+c=0(a0)的过程。（3） ） 公式法解一元二次方程的具体步骤：2 方程化为一般形式： ax +bx+c=0(a0) ，一般 a 化为正值确定公式中 a,b,c的值， 注意符号；222求出 b -4ac 的值；若 b -4ac 0，则把 a,b,c和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若b
5、-4ac 0，则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式222式子 b -4ac 叫做方程 ax +bx+c=0(a 0) 根的判别式，通常用希腊字母表示它，即=b -4ac.一元二次方程根的判别式2 0，方程 ax +bx+c=0(a0) 有两个不相等的实数根2=0，方程 ax +bx+c=0(a0) 有两个相等的实数根2 0，方程 ax +bx+c=0(a0) 无实数根21.2 3 因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程（1） ） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2） ） 因式分解法的
6、详细步骤： 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二用合适的方法解一元一次方程22方法名称理论依据适用范围直接开平方法平方根的意义形如 x =p 或（mx+n） =p(p 0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当 ab=0，则 a=0 或b=0一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。21.2.4一元二次方程的根与系数的关系2若一元二次方程x +px+q=0的两个根为 x1
7、,x 2, 则有 x1+x2=-p,x 1x2=q.2若一元二次方程a x+bx+c=0(a 0) 有两个实数根 x ,x , 则有 x +x =，b ,xx = c1222.3实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：121 2aa（1） ） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。（2） ） 设：是指设元，也就是设出未知数。（3） ） 列：就是列方程，这是关键步骤, 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（4） ） 解：就是解方程，求出未知数的值
8、。（5） ） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6） ） 答：写出答案。知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1） ） 数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1 ， x+1。三个连续偶数（奇数） ：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2 。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c ，则这个三位数是100a+10b+c.（2） ）增长率问题设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（ 1x）2=b。（3） ）利润问题利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销
9、售价 - 总成本；总利润 =单位利润总销售量；利润=成本利润率（4） ）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1. 定义：一般地，如果yax2bxc( a, b, c 是常数， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2. 二次函数 yax 2 的性质2（1） ）抛物线 yax的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2） ）函数yax2 的图像与 a 的符号关系 .当 a当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；0时抛物线开口向下顶点为其最高点 .（3） ）顶点是坐标
10、原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax 2（a0）.3. 二次函数yax2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .4. 二次函数 yax 2bxc 用配方法可化成：ya xh 2k 的形式，其中 hb4acb 2， k.22a4a5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：yax 2 ； yax 2k ； ya xh；ya xh 2k ； yax2bxc .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当a0 时，开口向上；当a0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh . 特别
11、地， y 轴记作直线 x0.7. 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数， 如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1） ）公式法：yax2bxc2axb 2a4acb24a，顶点是 （b4 ac，2a4ab 2），对称轴是直线xb .2a（2） 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式，得到顶点为 ( h , k ) ，对称轴是直线 xh .（3） 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶
12、点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9. 抛物线 yax2bxc 中，a,b, c 的作用（1） a 决定开口方向及开口大小，这与yax2 中的 a 完全一样 .（2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax 2bxc 的对称轴是直线bx，故： b 2ab0 时，对称轴为 y 轴；a0（即 a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧； b0a（即 a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3） c 的大小决定抛物线yax 2bxc与 y 轴交点的位置 .当 x0时， yc，抛物线 yax 2bxc与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）：
13、 c0 ，抛物线经过原点 ; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则b0.a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax 2yax 2kx0 （ y 轴）（0,0 ）x0 （ y 轴）(0,k )ya xh 2ya xh 2当 a0 时xhk开口向上xh( h ,0)( h , k )yax 2bxc当 a0时bxb4acb 2开口向下2a(，)2a4 a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式： yax2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式 .（2） 顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴
