《相似三角形证明技巧窍门汇总整编》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相似三角形证明技巧窍门汇总整编（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形（1）三角形相似的条件：、两个三角形相似的六种图形:条件DEBC条件Nie 务条件Afi/DE無件厶q条件AD是RtABC:斛边上的高只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决 三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；、斤 f找另一角两角对应相等，两三角形相似a）已知一对等 j 找夹边对应
2、成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似L找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b）己知两边对应成比 v 找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似-找一个直角一斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似人士 r找另一角k两角对应相等，两三角形相似 C）己知个直VI找两边对应成比例判定定理2找顶角对应相等判定定理1d）有等腰关“找底角对应相等 判定定理1-找底和腰对应成比例判定定理3e）相似形的传递性若2,3,则3四、“三点定形法”， 即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例 式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若
3、能，则只要证明这两个 三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个 不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。这样反而使问题有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线, 复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知：如图， AB（中 ,CE丄AB,BF丄AC.求证:AE ACAF BA（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD是Rt ABC的斜边 AB上的高，/ BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F, AC AE=AF AB吗? 说明理由。分析方法：1）
4、先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？）例3、已知：如图， ABC中，/ ACB=90, AB的垂直平分线交交BC延长线于F。求证：cD=DEDF。分析方法:1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？）五、过渡法（或叫代换法）1、等量过渡法（等线段代换法）例1 :如图3, ABC中，AD平分/ BAC , AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E.求证：DE2=BE-CE.2、等比过渡法（等比代换法）例2 :如图4,在AABC中，/ BAC=90 , AD丄BC, E是AC的中点,AB的延长线于点F.求证:ABACDFAFF-!G是DC延长线上一点，过3、等积过渡法（等积代换法）例3:如
5、图5，在ABC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上的高,BE丄AG，垂足为E,交CD于点F. 求证：CD2= DF-DG .小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似； 不相似，不用急：等线等比来代替。同类练习：1. 如图，点 D、E分别在边 AB、AC上，且/ ADEN C 求证：(1)A ADEA ACB;(2)AD- AB=AE- AC.2. 如图，A ABC中，点 DE在边BC上，且A ADE是等边三角形，/ BAC=120 求证：（1 ）A ADBA CEA;(2) DE2=BD- CE;(3) AB - AC=AD BC.3. 如图， 平行四边形 ABCD中
6、，E为BA延长线上一点，/ D=Z ECA.求证：AD- EC=AC EB .5. 如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F, 求证：FC2=FG EF.6. 如图，E是正方形 ABCD边BC延长线上一点，连接 AE交CD于F,过F作FM/ BE交DE于M. 求证：FM=CF.7. 如图， ABC中，AB=AC点D为BC边中点，CE/ AB,BE分别交AD AC于点F、G 连接FC. 求证：（1） BF=CF.&如图，/ ABC=90 ,AD=DB,DE!AB,9如图，四边形 ABCD中, AB/ CD,AB丄BC,AC丄 BD AD= BD 过 E 作 EF
7、/ AB交 AD于 F. 是说明：(1) AF=BE;(2)AF2=AE EC.10.A ABC中，/ BAC=90 ,AD丄 BC,E 为 AC中点。 求证：AB:AC=DF:AF11.已知，CE是RT ABC斜边AB上的高，在 EC延长线上任取一点 P,连接AP,作BGL AP,垂足为G ，交 CE于点D.试证：CE2=ED- EP.六、证比例式和等积式的方法：可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截;平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幕.例1 如图5在AABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF丄AB于F，交AC的延长线
8、于 H , 交BE于G,求证：(1)FG / FA= FB / FH (2)FD是FG与FH的比例中项.例2 如图6, CABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE： EC = 3： 1 , Safbe= 18,求：(1)BF: FD(2)Sfda例3 如图7在AABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N .求：AN :AB的值；例4 如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交AC于F，过F作FG / AB交AE于G. 求证：AG 2 = AF XFC例5 如图在AABC中，D是BC边的中点，且AD = AC，DE丄BC，交AB于点E，EC
9、交AD于点F . (1) 求证：AABCsA FCD ;若 S济cd = 5，BC = 10，求 DE 的长.例6如图10过AABC的顶点C任作一直线与边 AB及中线AD分别交于点F和E .过点D作DM /FC 交 AB 于点 M .若 S/AEF : S 四边形 MDEF = 2: 3,求 AE: ED ;求证：AEXFB = 2AF XED例7 己知如图11在正方形ABCD的边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何 值时，AADP与QCP相似？例8 己知如图12在梯形 ABCD中，AD / BC,/ A= 90, AB= 7, AD = 2, BC = 3.试在边 AB上确
10、 定点P的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似. 例9 .如图，已知 ABC中，AB=AC , AD是BC边上的中线，CF / BA , BF交AD于P点，交 AC 于E点。求证：BP2=PE PF。例10 .如图，已知：在 ABC中，/ BAC=900 , AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。AB OF求证： 丄八、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段 或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以 下几种：（一）、作平行线例1.如图
11、， ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD = AE，DE延长线与BC延长线相交于BF BDF，求证：苻CEA例2.如图， ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取 BD=CE，DE，BC的 延长线相交于点 F,证明：AB DF=AC EF。例3、如图4 5，B为AC的中点，E为BD的中点，贝U AF : AE=.例4、如图4-7，已知平行四边形 ABCD中，对角线AC、BD交于0点，E为AB延长线 上一点，0E 交 BC 于 F,若 AB=a，BC=b，BE=c，求 BF 的长.BCBE，例5、 ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取求证：DF?AC=BC?FE例6:如
12、图 ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E,交AB于F， 求证：AE: ED=2AF FB。（二）、作延长线例7.如图，Rt ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点,2G,求证：FG2=CF?BFAE的延长线交 BC于F, FG AB于CAF例8 .如图4-1，已知平行四边 ABCD中，E是AB的中点，-ADF 交 AC 于 G. 求 AG :（三）、作中线例10:已知：如图， ABC中，AB = AC , BD丄AC于D .求证：BC2= 2CD AC .中考综合题型i.已知：如图，在ABC 中,AB AC, A 36 ,BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2
13、 DC AC .2.如图，矩形ABCD中，AD 3厘米，AB a厘米（a 3） 动点M , N同时从B点出发，分别沿B A , B C运动，速度是1厘米/秒过 M作直线垂直于 AB，分别交AN , CD于P, Q .当点N到达终点C时，点M也随之停止运动设运动时间为 t秒.(1) 若a 4厘米，t 1秒，则PM 厘米；(2) 若a 5厘米，求时间t,使 PNBPAD，并求出它们的相似比;3. 如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 AB、 BC匀速运动，其中点 P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点 都
14、停止运动，设运动时间为 t (s),解答下列问题：(1 )当t= 2时，判断 BPQ的形状，并说明理由；(2 )设厶BPQ的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式；D点的直线B1C1丄AC于C1交AB的4. 如图(10)所示：等边 ABC中，线段AD为其内角角平分线，过 延长线于B1.请你探究:AC CD AC1 CDAB DB， AB1 DBAC CD请你继续探究：若 ABC为任意三角形，线段 AD为其内角角平分线，请问 去 琴一定成立吗?AB DB并证明你的判断5. 如图12,在平面直角坐标系中，点 A、C分别在x轴、y轴上，四边形 ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，AB:BC=4:3，点E、F分别是线段 AD、AC上的动点(点E不与点A、D重合)，且/ CEF= / ACB(1) 求AC的长和点D的坐标；(2) 说明 AEF与厶DCE相似；16. 如图，在 Rt ABC 中，/ B = 90, AB= 1, BC = 一，以点 C 为圆心，2CB为半径的弧交 CA于点D ;以点A为圆心，AD为半径的弧交 AB 于点E.(1 )求AE的长度；(2)分别以点 A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F
