人教版 高中数学【选修 21】习题:241抛物线及其标准方程

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1、人教版高中数学精品资料课时作业16抛物线及其标准方程时间:45分钟分值:100分 一、选择题(每小题6分,共36分)1对抛物线y4x2,下列描述正确的是()A开口向上,焦点为(0,1)B开口向上,焦点为(0,)C开口向右,焦点为(1,0) D开口向右,焦点为(0,)解析:由y4x2得x2y,开口向上,焦点坐标为(0,)答案:B2焦点在直线x1上的抛物线的标准方程是()Ay22x Bx24yCy24x Dy24x解析:由焦点在x1上,故焦点坐标为(1,0),抛物线开口向右且1,p2,方程为y22px4x.答案:D3若抛物线y2ax的焦点与椭圆1的左焦点重合,则a的值为()A4 B2C8 D4解析

2、:由椭圆可知左焦点坐标为(2,0),抛物线开口向左且2,p4,故方程为y28x,a8.答案:C4抛物线y2x上一点P到焦点的距离是2,则点P坐标为()A(,) B(,)C(,) D(,)解析:设P(x,y),则点P到焦点距离为2,点P到准线x的距离也是2,即x2,x,y.故选B.答案:B5若A是定直线l外的一定点,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线一支 D抛物线图1解析:如图1,以直线l为y轴,以过点A且与l垂直的直线为x轴建立直角坐标系,设动圆的圆心为P,则|PA|PB|.即动点P到定点A和到定直线l的距离相等,依定义可知,动圆圆心的轨迹为抛物线答案:D6已知F是抛

3、物线yx2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1 Bx22yCx2y Dx22y2解析:由yx2得x24y,F(0,1)设PF中点M(x,y),P(x0,y0)则即.又(x0,y0)在x24y上,故4x24(2y1)得x22y1.答案:A二、填空题(每小题8分,共24分)7过(2,4)点,顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线的标准方程为_解析:由已知可设抛物线方程为x2my代入点(2,4)得44m,m1故方程为x2y.答案:x2y8已知抛物线yx2,过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A、B两点,则坐标原点与A、B两点构成的三角形的面积为_解析:由抛物线的方程可

4、得:x24y,焦点坐标F(0,1),将y1代入方程可得:x2.|AB|4,SOAB|OF|AB|142.答案:29设F为抛物线y24x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若0,则|_.解析:由y24x得F(1,0),准线方程为x1,又0,可知F是ABC的重心,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),1,即x1x2x33.又抛物线定义可得|x11,|x21,|x31|x1x2x33336.答案:6三、解答题(共40分)10(10分)抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线1的一个焦点,并且这条准线垂直于x轴,又抛物线与双曲线交于点P(,),求抛物线和双曲线的方程图2解:交点在第一象限,

5、抛物线的顶点在原点,其准线垂直于x轴,可设抛物线方程为y22px(p0)点P(,)在抛物线上,()22p,p2,y24x.y24x的准线为x1,且过双曲线的焦点,c1,c1,即有a2b21,又点P(,)在双曲线上,1.联立,解得a2,b2,双曲线方程为4x2y21.故所求的抛物线与双曲线方程分别为y24x和4x2y21.11(15分)抛物线y22px(p0)有一内接直角三角形,直角的顶点在原点,一直角边的方程是y2x,斜边长是5,求此抛物线方程解:设AOB为抛物线的内接直角三角形,直角顶点为O,AO边的方程是y2x,则OB边的方程是yx.由可得点A坐标为(,p)由可得点B坐标为(8p,4p)|

6、AB|5,5.p0,解得p,所求的抛物线方程为y2x.12(15分)已知动点P(x,y)(y0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y1的距离相等,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设圆M过点A(0,2),且圆心M(a,b)在曲线C上,若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0),求线段EG的长度图3解:(1)依题意知,曲线C是以F(0,1)为焦点,y1为准线的抛物线焦点到准线的距离p2,曲线C方程是x24y.(2)圆M的半径为其方程为(xa)2(yb)2a2(b2)2令y0得:x22ax4b40.则x1x22a,x1x24b4.(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2a)24(4b4)4a216b16.又点M(a,b)在抛物线x24y上,a24b,(x1x2)216,即|x1x2|4.线段EG的长度是4.

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