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1、唐山师范学院本科毕业论文题 目 多项式最大公因式最优求法的探讨学 生 陈 静 莎指导教师 孙 秀 娟 讲 师 年 级 2021级专 业 数学与应用数学系 别 数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系2021年4月郑重声明 本人的毕业论文设计是在指导教师孙秀娟的指导下独立撰写完成的如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术标准和侵权的行为，本人愿意承当由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督特此郑重声明毕业论文设计作者签名： 年 月 日 目 录标题 多项式最大公因式最优求法的探讨1中文摘要1引言11 根本概念12 最大公因式的求法521 辗转相除法522 因式分解法72
2、3 多项式组合法824 等效变换法1025 矩阵初等变换法133 优劣性比拟194 结束语22参考文献23致谢24外文页25多项式最大公因式最优求法的探讨陈静莎摘 要 本文介绍了多项式最大公因式的几种常规求法，如辗转相除法、因式分解法、多项式组合法、矩阵初等变换法、等效变换法等，对这些方法进行了详细的证明，由这些方法得出了求最大公因式的一些性质，通过讨论，文章浅析了某些具体多项式应采取的简便的求最大公因式的求法此外，本文通过具体实例对最大公因式的各种求法的优劣性进行了比拟，进而探讨出某些具体多项式最大公因式最优的求法关键词 最大公因式 辗转相除法 因式分解法 组合法 初等变换前言多项式理论不仅
3、是中学代数的主要内容之一，也是高等代数的的重要组成局部，它在数学的理论与应用中都有十分重要的意义，而求最大公因式在多项式理论研究中又占有显著地位一元多项式最大公因式的解法，在各种高等教材中已经做了许多根本方法的介绍，但在我们的实际应用中，这些根本方法存在运算过程复杂，计算量大等缺点所以，探讨求最大公因式快速、准确、简便的方法就尤为重要多项式的最大公因式作为多项式理论中的核心局部，是一个一直受到人们关注的古老而又始终充满活力的研究内容多项式的最大公因式的常规求法有辗转相除法、因式分解法和组合法，前人对这些求法及其简单应用都做了较深入的研究而初等变换求法作为计算最大公因式的一种简便方法，克服了传统
4、的辗转相除法及因式分解法带来的繁冗性和复杂性初等变换在几何和矩阵理论的研究中有广泛的应用，因此讨论其性质及其应用具有重要意义1、根本概念设是一个数域，为数域上的一元多项式环，有如下定义和定理：定义 1 设、是中的两个多项式，如果满足是、的公因式，且、的公因式都是的因式，那么称多项式是、的一个最大公因式 定理 1 对于中的任意两个多项式、，在中存在最大公因式，且可表成、的一个组合，即存在多项式、满足 证明：1 假设、有一个为零，不妨设，那么可知是一个最大公因式，显然存在多项式，满足2 假设、全不为零，利用带余除法用除，得到商，余式，此时：假设，可得，即是一个最大公因式，可求得多项式，满足式；假设
5、，就用除，余式，假设，可得，即是一个最大公因式，可求得多项式，满足式；假设，就用除，得到商，余式，以此类推，所得余式的次数不断降低，即 但的次数有限，因此在辗转相除有限次后，必有一余式为零，于是可得： 由1可知是、的一个最大公因式下证存在多项式、满足式，事实上，变形上面倒数第二式有，同理可解得、将解得余式代入上面的运算式，并逐个消去，即可得定理1的式证毕2、主要方法及证明由定义1可知，假设、是、的两个最大公因式，那么必有，而又由整除的性质可得：，其中是非零常数由此有：两个不全为零的多项式的所有最大公因式均只相差一个非零常数倍，那么，根据此性质，首项系数为1的那个最大公因式是唯一确定的，且记为现
6、约定下文所提及的最大公因式均指首项系数为1的那个最大公因式21辗转相除法由定理1的证明可以很容易得到求最大公因式的一种有效方法辗转相除法例1 在有理数域上，求多项式、的最大公因式，其中表达式分别为， 事实上，多项式的最大公因式只相差一个非零常数倍，因此在计算过程中可以适当的用某一常数乘以多项式的各项系数，从而化简计算量且不改变最大公因式的值，因此利用辗转相除法：解：用除得：商，余式，再用除得：商，余式，再用除得：商，余式，由此可得：是、的一个最大公因式，即：例2 多项式、同上面的例1，求多项式、使其满足定理1的式解：利用例1的计算过程扩大某一多项式的倍数，此时可计算出多项式、使其满足定理1的式
7、，且可得如下等式： 其中 ，同例1，由有： 且代入得 即 又知 ，将上式化简可知满足的项式、分别为，但是，将、代入进行检验得：所以，此时计算的多项式、并不满足定理1的式事实上，在计算过程中假设不扩大某一多项式的倍数，经过计算有： 由，可得： 化简可知：满足的多项式、为： ，分析：假设用例1计算过程所得商和余式求多项式、，那么所得结果将错误，这是因为在例1的求解过程中，为了简便运算而将多项式扩大了某一常数倍，因此应按照辗转相除法的一般步骤进行求解现考虑个多项式的最大公因式定理2 中的任意个多项式有 ，其中2分析：容易推出，是多项式的一个最大公因式，那么与多项式的最大公因式也是多项式的最大公因式这
8、样，由于两个多项式的最大公因式总是存在的，所以个多项式的最大公因式也总是存在的，并且可以累次应用辗转相除法来求出证明在此不再赘述注意：与两个多项式的情形一样，个多项式的最大公因式也只有非零常数因子的差异我们约定，个不全为零的多项式的最大公因式指的是最高次项系数是1的那一个那么个多项式的最大公因式就是唯一确定的有计算过程可见，当求三个以上多项式的最大公因式时，运用辗转相除法计算相当繁冗并容易出错；除此之外，假设又要求将表示成的形式时，此时，在辗转相除法的过程中不能用一个非零的常数去乘以除式或被除式，这就使得计算更加困难22 因式分解法在高等教材中已明确提出，利用多项式的标准分解式可以很快的得到它
9、们的最大公因式又因为多项式的最大公因式不会随着数域扩大而发生改变，所以尽管多项式在不同的数域上标准分解式不尽相同，但这不影响多项式的求解因此只考虑在中，以两个多项式、为例，设、的标准分解式分别为： ;其中、分别是、的首项系数，是两两不等的首项系数为1的不可约多项式，是非负整数，那么 这里 因式分解法可推广到个多项式的情形，其方法与两个多项式的情形相同，这里就不再赘述例3 设，用因式分解法求多项式，的最大公因式解：将，进行因式分解，可得在有理数域上的标准分解式分别为： 故可得： 例4 设，用因式分解法求多项式，的最大公因式解：将，进行因式分解，可得在有理数域上的标准分解式分别为： 故可得： 例5
10、 设，为两个非零多项式，证明：存在自然数，使任意的大于的两个自然数，都有证明：设，假设，那么结论显然成立假设，那么令由例3 、例4可知，对于因式分解法的前提是，必须求出多项式的标准分解式事实上，并不是所有的多项式都能进行简单的因式分解，就算可以因式分解其过程也是相当复杂，而一般没有一个切实可行的方法对多项式进行因式分解因此，求最大公因式一般不用此种方法，它提供的方法主要是用于理论证明，不用于求解具体的多项式的最大公因式，更不用说求出满足定理的多项式、23 多项式组合法先给出定理1的三个简单推论：推论1 定理1 的逆命题：对任意的多项式、，不一定是多项式、的最大公因式此命题为假命题例如：多项式，
11、可知、互素，此时对任意的，显然不是、的最大公因式推论2 多项式为、的最大公因式，那么推论3 对任意的多项式、的任一个组合是、的最大公因式的倍式由上两个结论知、的最大公因式一定是、的组合式由此可得：定理3 在辗转相除法运算式中，都是、的最大公因式的倍式证明：利用辗转相除法计算最大公因式可得如下运算 即得： 将上式运算变形得： ，它是、的组合那么 是的倍式将代入运算式得： 由等式可知 是的倍式以此类推： 都是、的最大公因式的倍式证完例6 在有理数域上，求多项式，的最大公因式解：根据题意计算，可得出由推论3可知：是最大公因式的倍式，而1又在有理数域上的因式只有一种可能，即常数，所以所求的最大公因式为：例7 在有理数域上，求多项式、的最大公因式，其中解：由题意可得：其中余式为 由艾森斯坦判别法知：是有理数域上不可约多项式，那么的因式只能是或者是常数，用试着去除可知不整除所以、的最大公因式应该是常数，即为：由以上两个例子可见：在辗转相除计算过程中假设发现有一个余式能较快的因式分解，就可以用此分解式中的不可约因式除、而得到最大公因式，并且当、的次数很高时用此方法较为方便假设是求个多项式，的最大公因式时，有如下定理：定理4 设中的多项式，在辗转相除法所得运算式中，都是，的最大公因式的
