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1、一)函数与导数中的高考热点问题（相应学生用书第44页）命题解读 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具,因此，函数与导数是历年高考的重点与热点,常波及的问题有:讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范畴、证明不等式等，波及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等,中、高档难度均有.运用导数研究函数的性质函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行,因此,务必遵循定义域优先的原则，本热点重要有三种考察方式：(1）讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最
2、值;(3）运用函数的单调性、极值、最值，求参数的范畴 （全国卷)已知函数f(x)=n x(1-x)()讨论f（)的单调性;(2)当(x)有最大值,且最大值不小于2a时,求a的取值范畴.解()f(x)的定义域为(，+),f(x)a.若a0,则()0，因此f(x）在（,)上单调递增若a,则当x时,f（x);当x时，f（x)0.因此(x)在上单调递增,在上单调递减(2)由(1)知，当0时，f(）在(0,）上无最大值;当a0时,f()在x获得最大值,最大值为ln+=-na+a.因此f2a2等价于 a1令g(a）laa-1,则(）在(0,+)上单调递增,（1）=0.于是,当01时,g(a)1时,g(a)
3、.因此,a的取值范畴是（0,1)规律措施研究函数的性质，必须在定义域内进行,因此运用导数研究函数的性质，应遵循定义域优先的原则2.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最后归结到判断f()的符号问题上，而(x)0或f()0,最后可转化为一种一元一次不等式或一元二次不等式问题.3.若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题求解.跟踪训练(福州质检)已知函数f(x)=al xx2a（aR）. 【导学号:794096】(1)若3是f（)的极值点,求(x)的单调区间;(2)求g()=f（x）2x在区间1,e的最小值(a)解 (1)f(x)的定义域为(0,
4、+）,f(x)+x,由于3是（x）的极值点，因此(3)=0,解得a9.因此(x),因此当0x或x3时,f(x)0;当x3时，f(x)0.因此f(x）的单调递增区间为和(3,+)，单调递减区间为.(2)由题知,g（）(）2x=ln +2ax2x.g(x)=-2.当,即a2时,g(x)在1，e上为增函数,h（a)g（)-a-1;当1e，即2a2时,（)在上为减函数，在上为增函数,h(a）=ala-；当e，即a2e时,(x)在1,e上为减函数，(a)g（e)=(1-e)a+2.综上，h(a)运用导数研究函数的零点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负,为此,我们可以通过讨论函数的单调性来解决
5、,求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其重要考察方式有：（)拟定函数的零点、图像交点的个数；(2）由函数的零点、图像交点的状况求参数的取值范畴 (全国卷)已知函数f(x)=aex+(a-2)e.()讨论f(x)的单调性; （)若f（x)有两个零点,求a的取值范畴. 解(1)f(x)的定义域为(，+)，f(x)2ae2x(a-)e-1=(aex1)（2ex+1）()若0,则f（x）0,由(1)知,当x=la时，f()获得最小值,最小值为f(-ln a)=1lna.当=时,由于(l a)=0，故f（x）只有一种零点；当a（1，)时，由于1-ln0，即f(-lna)0，故f（x)没有零点;当（
6、0,1）时,1+na0,即（ln a)0,故（x)在(-，-ln a）有一种零点设正整数n0满足nln，则(n0)e(aea-2）002-n00.由于nln a，因此（)在(-ln a，+)有一种零点.综上，a的取值范畴为(0,1).规律措施运用导数研究函数零点的两种常用措施()用导数研究函数的单调性，借助零点存在性定理判断；或用导数研究函数的单调性和极值，再用单调性和极值定位函数图像求解零点问题.(2)将零点问题转化为函数图像的交点问题，运用数形结合来解决.跟踪训练 (武汉调研)已知f()=ln -x+2ex2ax，R，其中为自然对数的底数(1)若(）在=e处的切线的斜率为2，求a;(2)若
7、f()有两个零点,求a的取值范畴.解 （1)f(x)=-x24ea,f(e)=+e22,.（2)由 x-x3+2ex2-ax0,得x2+2xa记F()x2+e,则F(x)=-2(x-e）x(,),F（x)0，F(x）单调递减x(，e)，F（x)0，F（x）单调递增,F(x)maF(）e,而x0时，F（x)-,x时，F(x）-故a2运用导数研究不等式问题(答题模板)导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容,且以解答题的形式考察，难度较大,属中高档题,突出转化思想、函数思想的考察常用的命题角度有：(1)证明不等式；(2)由不等式恒成立求参数范畴问题；(3)不等式恒成立、能成立问题 （本小题满分12
8、分)(全国卷)设函数f（x)=(1-x)ex.(1)讨论（x)的单调性;(2)当0时，f（x)x+，求a的取值范畴规范解答 (1）(x)(1-2x-x2)ex.令f(x)0得-1-或x=1+.分当（-,-)时,f(x)0；当(,)时,(x)0;当x（1+,+)时，f(x）0.4分因此(x）在(-，-）,（1,+)单调递减，在(1,)单调递增.5分（2)f()=(1x)(1-x)ex当时，设函数h(x)=(-x)e,h(x)xex)，因此h(x)在,+）单调递减.而h(0）=，故h(x）1，因此f(x)=(x1）（x）x+1ax+.8分当0a0(x0),因此g(x)在0，）单调递增，而（)=,故
9、exx+1当01时,f(x)(1-)（1+x),(-x)(1x)ax1(1a-x-x),取x0,则x0(0,1），（1-)(1）-ax1=,故f(x0)a0110分当0时，取0=,则x0(,),(x0)(1-0）(1+x0)2=1x+1.11分综上,a的取值范畴是1,）.12分阅卷者说易错点防备措施函数h(x)与函数g(x）的构造认真分析不等式的构造特性,通过构造()，运用不等式的性质,证明命题成立,通过构造（x),为举反例阐明命题不成立发明了条件规律措施1.求单调区间的一般环节()求定义域(2)求f(x)，令f(x)0，求出f(x)的增区间；令f(x)0时,f(x)a+aln. 【导学号：7
10、14009】解 （1)(x)的定义域为(0,+),f(x）=2e2x-(x0).当0时,f(x)0,f(x）没有零点;当时，设u（x）,v(x)-,由于(x)=e2x在（0，+)上单调递增，(x）在(0,)上单调递增,因此f(x)在(0，)上单调递增.又f(),假设存在b满足0b且时,f(b)0,故当a时,f()存在唯一零点.(2)证明:由（），可设f(x)在(0,+)上的唯一零点为x0，当x(0，x0）时，f(x）0.故f()在(0，0)上单调递减,在(x0，)上单调递增，因此当0时，f(x)获得最小值，最小值为f(x)由于2e-0，因此f(0)2aln+aln .故当a0时,f(x)2a+ln
