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1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1. 理解命题的概念.2了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的 相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.1. 命题的概念用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2. 四种命题及其关系四种命题间的相互关系逆金题(2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性; 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3. 充分条件与必要条件若p? q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.若p? q，贝U p与
2、q互为充要条件.若p? / q,且q? / p,则p是q的既不充分也不必要条件.i 7问题思考i. 一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个 命题的否定仅是否定它的结论.2. “p是q的充分不必要条件”与“ p的一个充分不必要条件是 q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同.“p的一个充分不必要条件是 q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“ p是q的充分不必要条件”是截然不同的.1. (2013 福建高考)已知集合 A = 1 , a, B = 1,2,3，则“ a= 3” 是“ A? B” 的()
3、A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析：选A 当a= 3时，A= 1,3 , A? B;反之，当A? B时，a= 2或3,所以“a =3”是“ A? B ”的充分而不必要条件.2命题“若x2y2,贝V xy”的逆否命题是()A .“若 xv y,则 x2vy2”B “若 xy,则 x2y2”C. “若 xy,则 x2y2”若 x2 y2,则 x y”解析：选C根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题 的逆否命题是“若xw y，则x2w y2”.3. (教材习题改编)命题“如果b2 4ac0,则方程ax2 + bx+ c= 0(a* 0)有两个不
4、相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为()A. 0B . 1C. 2D. 3解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2 + bx+ c= 0(a0) 有两个不相等的实根，则b2 4ac 0”，为真命题，则它的否命题也为真.4命题“若f(x)是奇函数，则f( x)是奇函数”的否命题是()A .若f(x)是偶函数，则f( x)是偶函数B .若f(x)不是奇函数，则f( x)不是奇函数C.若f( x)是奇函数，则f(x)是奇函数D .若f( x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(x
5、)是奇函数”的否命题是B选项.5.下面四个条件中，使 ab成立的充分而不必要的条件是()2233A . a b + 1 B . a b 1 C . a b D . a b解析：选A 由a b+1，且b+ 1 b，得a b;反之不成立.考点一四种命题的关系例1 (1)命题“若x 1，则x 0”的否命题是()A .若 x 1 贝U xw 0B .若 xw 1 贝y x 0C.若 xw 1 贝y xw 0D .若 xv 1 贝U xv 0命题“若x, y都是偶数，则x + y也是偶数”的逆否命题是 ()A .若x+ y是偶数，则x与y不都是偶数B .若x+ y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+ y
6、不是偶数，则x与y不都是偶数D .若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数自主解答因为“x 1”的否定为“xw 1” , “ x0”的否定为“xw 0”，所以命 题“若x 1贝y x 0”的否命题为：“若xw 1，则xw 0”.由于“x, y都是偶数”的否定表达是“x, y不都是偶数”，“x+ y是偶数”的否定 表达是“x+ y不是偶数”，故原命题的逆否命题为 “若x+ y不是偶数，则x与y不都是偶 数”.答案(1)C(2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性.解：逆命题：若x+ y是偶数，则x, y都是偶数.是假命题.否命题：若x, y不都是偶数，则x+ y不是偶
7、数.是假命题.【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1) 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.(2) 原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.口变式训练1 .命题p： “若a b，则a + b 2 012且a b”的逆否命题是 ()A .若 a + bw 2 012 且 aw b,贝U av bB .若 a + bw 2 012 且 aw b,贝U a bC.若 a+ bw 2 012 或 aw b,贝U av bD .若 a + bw2 01
8、2 或 a b,贝U ay,则x |y|”的逆命题B .命题“若x 1，则x2 1 ”的否命题C.命题“若x = 1，则x2 + x 2= 0”的否命题D .命题“若x2 0，则x 1 ”的逆否命题解析：选A A中逆命题为“若x |y|,贝U xy”是真命题;B中否命题为“若xw 1,贝y x2w 1”是假命题；C中否命题为“若xm 1,贝U x2+ x 2丰0 ”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题.考点二命题的真假判断例2(1)下列命题是真命题的是()A. 若=-，贝V x=yx yB .若 x2= 1,则 x= 1C.若 x= y,贝U x= . yD .若 xv y,
9、则 x2v y2(2)(2014济南模拟)在空间中，给出下列四个命题： 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直； 若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； 两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线； 两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线.其中正确的是()A . B . C . D .自主解答(1)取x= 1排除B ;取x= y = 1排除C;取x= 2, y= 1排除D,故选A.(2)对于，由线面垂直的判定可知正确；对于，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故错误；对于，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一 条直线，故
10、错误；对于，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另 一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故正确.综上可知，选D.答案(1)A(2)D【方法规律】命题的真假判断方法(1) 给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题, 只需举一反例即可.(2) 由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的 真假.口变式训练给出下列命题： 函数y= sin(x+ k n )k R)不可能是偶函数； 已知数列a的前n项和Sn= an- 1(a R,0)，则数列an一定是等比数列； 若函数f(x)的定义域是R,且满足f(x)+ f(x+ 2) =
11、 3,则f(x)是以4为周期的周期函数； 过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交.其中所有正确的命题有 (填正确命题的序号).解析：当k= *时，y= sin(x+ kn就是偶函数，故错；当 a= 1时，Sn = 0，贝U an 的各项都为零，不是等比数列，故错；由 f(x) + f(x+ 2) = 3,贝U f(x + 2) + f(x + 4) = 3,相 减得f(x) - f(x+ 4)= 0，即f(x)= f(x+ 4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，正确；过 两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故错.综上所述，正 确的命题只有
12、.答案：咼频考点考点三充要条件右通关指南1. 充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大,属于容易题.2. 高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1) 判断指定条件与结论之间的关系；(2) 探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；与命题的真假性相交汇命题.例3 (1)(2013北京高考)“甘n是“曲线y= sin(2x+ 过坐标原点”的()A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件a b(2)(2012四川高考)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使订厂币成立的充分条件是()A. a= bB. a
13、/ bC. a= 2bD. a / b 且|a|= |b|(3) 给出下列命题： “数列an为等比数列”是“数列anan+1为等比数列”的充分不必要条件； “ a= 2”是“函数f(x) = |x a|在区间2 ,+ )上为增函数”的充要条件； “ m= 3”是“直线(m+ 3)x+ my 2= 0与直线mx 6y+ 5= 0互相垂直”的充要条件； 设a, b, c分别是 ABC三个内角A, B, C所对的边，若a= 1, b = .3,则“ A =30 是“ B = 60 的必要不充分条件.其中真命题的序号是.自主解答(1)当(=n时，y= sin(2x+n) sin 2x,则曲线y = s
14、in 2x过坐标原点， 所以“ $= n” ? “曲线y= sin(2x+册过坐标原点”；当 片2n时，y= sin(2x+ 2 n ) sin 2x, 则曲线y = sin 2x过坐标原点，所以 “0= n ?/ “曲线y= sin(2x+过坐标原点”，所以“ $ =n”是“曲线y= sin(2x+ 0)过坐标原点”的充分而不必要条件.盒，書分别是与a, b同方向的单位向量，由7=書，得a与b的方向相同.而a/b lal lbllal lbl时，a与b的方向还可能相反.故选C.对于，当数列an为等比数列时，易知数列 anan+1是等比数列，但当数列anan + 1为 等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此正确；对于，当 a 2时，函数f(x) = |x a|在区间2 ,+s)上是增函数，因此不正确；对于，当m= 3时，相应的两条直线互
