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1、北京交通大学硕士研究生数理统计试题（10分）设总体XN（0,1）, X ,X，,X为其样本，求统计量1 22 nY = - ILx 2 + 另X X2i2i-1 2ii=1i=1的概率分布，并给出证明。解:Y =1艺X2 + 刀X X =另（X2i 1+ X2i |22i2i-1 2i： 2丿i=1i=1i-1 因为X2 1+ X2i N（o,i）且相互独立，所以Y 咒2（n）. J2二、（15分）设总体x的密度函数为f （x,e）=0x 0， X ,X，,X为X的一个样本。12 n（1）求未知参数0的矩估计量$，并讨论其是否为无偏估计量；1（2）求未知参数0的极大似然估计量，并讨论其是否为无
2、偏估2计量；（3）将0 修正为0 使其为0的无偏估计，并比较0 的有1 2 3 4 3 4 效性。解：（1）因为 EX = J+8x- 2e-2（x0dx =1 + 002令 1 + 0 = X，2解得0的矩估计量为=X 11 2叭=EX * = 0，是0的无偏估计量。（2）样本X ,X，,X的似然函数为12 nL(0) = Hf (x ,0)= 0,i = 1,2,n其它2nx + 2n0 卜i i0=1x 0 (1)由于L(0)是0的单调增函数,所以0的极大似然估计量0 = X2(1 )其它总体 X 的分布函数为F (x)=1 一e-2(x-0)x 00 x 0x 012ne -2 n(
3、x-0),f (x) = n1 -F(x)n-if(x)彳0，()I0,因为 E0 = EX =J+8 x2ne-2n(x-0dr = + 0工02(1) 02 n所以，0不是0的无偏估计量。2(3)由上面的讨论可知$ = X -1, 4 = X -丄32_因为 DX = EX2 -(EX)2 = 1，DX = EX2 -(EX )2 =-， 4(1)(1)(1)4 n2贝卩，d0 = DL =丄，D0 = DX =丄 3 n 4 n4(1) 4n2 4n所以0比0有效。43三、(15分)设(X ,X ,，X )是来自正态总体N (卩Q2)的样本，卩已知, 12 n求a 2的极大似然估计量，并
4、证明它是UMVUE和相合估计量。4(1) 2 n(1)解:似然函数为闪2)A血exP-时i=1n2 exp F (1,5) = 661S0 95e由此可得，回归效果是显著的。六、(10 分) 设有三部机器甲, 已, 丙制造同一种产品，对每一台机器观察五天的日产量，记录如下(单位：件)机器niExj=1芳X 2ij j=1甲523611316已530619022丙524812370试问：问在日产量上，各机器之间是否有显著性差异，并填写 下面的方差分析表。(取显著水平a =005，已知F(2,12 ) = 38, F (3,14) = 334)0 95095解：由数据计算可得：X = 472, x
5、 = 612, x = 496, X = 52667123由此可得 Sn x 2 一 nx 2 = 560.5，x 2 一 nx 2 = 1101.3A i i T ijS = S - S = 1101 3 - 560.5 = 540.8eTAF = Sa 心 - D = 6.22 F (212) = 388S /(n - r)o95e所以，三部机器的日产量之间有显著差异。方差来源平方和S自由度f均方和SF值显著性因素A560.52280.256.22显著误差e540.81245.067总和1101.314七、(10分) 若从自动车床加工的一批零件中随机抽取10 个，测得其尺寸 与规定尺寸的偏
6、差(单位：微米)分别为 2、1、-2、3、2、4、-2、5、3、4.零件尺寸的偏差记作X，假定总体X服从正态分布 N(s2)，分别求出山c2的置信水平为0.9的置信区间。(已矢口 t (9) = 1.833, t (10) = 18125,咒 2 (9) = 16919,咒 2 (9) = 3.325095095095005X 2 (10) = 18307, % 2 (10) = 3940)095005解：由数据可得x =2 s= 24卩的置信水平为0.9的置信区间为x -1 (9)卓,x +1 (9)2 = (0608,3391)I0.950.954n 丿c 2的置信水平为0.9的置信区间为(n - l)s 2(n - 1)s 2、=(3.064,1559)八、(10 分)1972 年调查郊区某桑厂采桑员与辅助工桑毛虫皮炎发病情况，结果如下表：采桑不采桑合计患者人数181230健康人数47882合计2290112试问发生皮炎是否与工种有关。(取 = 0.05，已知X 2(1) = 3.8 4,JX 2 (1) = 3.
