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1、第五章 线性规划在管理中的应用5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品、的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：机器设备类型每周可用机器台时数铣床500车床350磨床150每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表： 机器设备类型新产品新产品新产品铣床846车床430磨床301三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。1、判别问题的线性规划数学模型类型。2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。3、建立
2、该问题的线性规划数学模型。4、用线性规划求解模型进行求解。5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。6、若销售部门表示，新产品、生产多少就能销售多少，而产品最少销售18件，请重新完成本题的1-5。解：1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为： 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 决策的限制条件： 8x1+ 4x2+ 6x3500 铣床限制条件4x1+ 3x2 350 车床限制条件3x1 + x3150 磨床限制条件 即总绩效测试（目标函数）为：
3、 max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x33、本问题的线性规划数学模型 max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 ST 8x1+ 4x2+ 6x3500 4x1+ 3x2 350 3x1 + x3150 x10、x20、x304、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。5、灵敏度分析推荐精选目标函数最优值为 : 30 变量 最优解 相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范围 : 变量 下限 当前值 上限 x1 .4
4、 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 : 约束 下限 当前值 上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 37.5 150 187.5（1） 最优生产方案： 新产品生产50件、新产品生产25件、新产品不安排。最大利润值为30元。（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品不安排生产，是因为新产品的利润太低，若要使新产品值得生产，需要将当前新产品利润0.25元/件，提高到0.333元/件。（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时； 三个对偶价格0.0
5、5，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。（4）目标函数系数范围 表明新产品的利润在0.4元/件以上，新产品的利润在0.1到0.25之间，新产品的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。（5）常数项范围 表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。6、若产品最少销售18件，修改后的的数学模型是：max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 ST 8x1+ 4x2+ 6x3500 4x1+ 3x2 350 3x
6、1 + x3150x318 x10、x20、x30这是一个混合型的线性规划问题。代入求解模板得结果如下：最优解（44，10，18），最优值：28.5元。灵敏度报告：目标函数最优值为 : 28.5 变量 最优解 相差值推荐精选 x1 44 0 x2 10 0 x3 18 0 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 0 .05 2 144 0 3 0 .033 4 0 -.083 目标函数系数范围 : 变量 下限 当前值 上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 : 约束 下限 当前值 上限 1 460 500 692 2 206 350
7、无上限 3 18 150 165 4 0 18 30（1） 最优生产方案：新产品生产44件、新产品生产10件、新产品生产18件。最大利润值为28.5元。（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。（4）目标函数系数范围表明新产品的利润在0
8、.4元/件以上，新产品的利润在0.1到0.25之间，新产品的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。（5）常数项范围表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品产量限制在30件以内。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。5.2 某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。问应如何切割可使所用的原铜板为最少？解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割
9、的方式并建立数学模型：min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10 S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x675 x2+2x4+x6+3x7+2x8+x950 x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10 110 xi0 （i=1，2.10） 用Excel线性规划求解模型板求解： 最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333 因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为：推荐精选 即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 63.333 变量 最优解 相差值 x1 18.333 0 x2 0 .056
