导数 (3)

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1、1已知函数（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2） 若恒成立，求实数的值。2已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性3已知函数（）若,求函数的单调区间;（）若在区间上是增函数,求实数的取值范围;（） 已知函数，当时,函数图象上的点均在不等式所表示的平面区域内,求实数的取值范围4已知函数f(x)=ax3bx(a,b为常数)1） 若y=f(x)的图象在x=2处的切线方程为xy6=0，求函数y=f(x)的解析式；2） 在1)的条件下，讨论函数y=f(x

2、)的图象与函数y =f /(x)9x3m的图象的交点的个数；3） 当a=1时，,lnx f /(x)恒成立，求实数b的取值范围。5已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行（）求实数a的取值范围；（）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；（）设函数，试判断函数在上的符号，并证明：6已知函数（1）讨论的单调区间；（2）若函数在，3上有三个零点，求实数m的取值范围；（3）设函数（e为自然对数的底数），如果对任意的，都有恒成立，求实数n的取值范围7设函数（1）求的单调区间；（2）令，其图像上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：

3、对于任意正整数，有8设函数.（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；证明：不等式.9已知函数，其中函数的图象在点处的切线平行于轴（1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性； （3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：10已知函数f（x）=axln（x1），其中a为常数（）试讨论f （x）的单调区间，（）若时，存在x使得不等式成立，求b的取值范围11已知函数，（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：12 已知函数.

4、（1）求函数的最大值；（2）求证：（3）当时，求证：.13已知函数，其中（1）若函数，当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；（3）证明：14已知函数有且只有一个零点，其中a0.（1）求a的值；（2）若对任意的，有恒成立，求实数k的最小值；（3）设，对任意，证明：不等式恒成立.15设函数（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围16已知函数 （1）当时，求的单调递减区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：参考答案1（1）函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值；（2）试题解析：解：注意到函数

5、的定义域为, ,当时, , 2分 若,则;若,则 所以是上的减函数,是上的增函数, 故, 故函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值 5分（2）解：由知, 当时,对恒成立,所以是上的增函数, 注意到,所以时,不合题意 7分当时,若,;若, 所以是上的减函数,是上的增函数, 故只需 9分令, 当时,; 当时,所以是上的增函数,是上的减函数 故当且仅当时等号成立所以当且仅当时,成立,即为所求 12分2（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）这样的最小正常数存在试题解析：（1）令,得当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增 （3分）（2）由于，所以构造函数，则令，得当时，；当

6、时，所以函数在点处取得最小值，即因此所求的的取值范围是 （7分）（3）结论：这样的最小正常数存在 解释如下：构造函数，则问题就是要求恒成立 （9分）对于求导得 令，则，显然是减函数又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而， ，所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有: 在区间和上，即；在区间上，即从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，当时，；当时，还有是函数的极大值，也是最大值题目要找的，理由是：当时，对于任意非零正数，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明；当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说明不能比小综合可知，题目所要寻求的最小正常

7、数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立 （12分）（ 注意：对于和的存在性也可以如下处理：令，即作出基本函数和 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程有两个正实数根和，且，（实际上），可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，当时，；当时， 还有是函数的极大值，也是最大值）3（）函数的单调递增区间是，无单调递减区间；（）实数的取值范围是；（）实数的取值范围是试题解析：（）当时，定义域 因为，所以所以函数的单调递增区间是,无单调递减区间 3分 （）因为在区间上是增函数,所以在区间上恒成立，即在上恒成立（）当满足题意（）令则对称轴当时，只需即解得当时，只需即解得

8、综上，实数的取值范围是 7分 （）依题意，在上恒成立令则在上成立即可当时，因为，所以则在上是单调递减，且，所以不满足，则不成立当时，令则递增区间是，令则递减区间是所以，解得，所以当时，令则递增区间是所以因为，所以则，所以不满足，则不成立,综上，实数的取值范围是 13分41）;2) 当，或时，一个交点；当，或时，两个不同的交点当时，三个不同的交点; 3）试题解析：1）,由导数的几何意义可知,将代入得.所以解得,所以.2)原问题等价于方程的根的个数也就是函数的图象与直线的交点的个数问题。又,令得,令得或.则函数在，上单调递减，在上单调递增。的极小值为, 极大值为.综合以上可得 当，或时，一个交点；

9、 当，或时，两个不同的交点 当时，三个不同的交点3）当时，, ;,恒成立，等价于不等式在上恒成立。令,令得,令得.则函数在上单调递增，在上单调递减。函数的极大值是,这也是函数的最大值。由上可得，实数的取值范围是.5（）；（）存在实数，使得函数f（x）的极小值为1；（）见解析试题解析：（） 由题意 （1分） f（x）有极值，故方程有两个不等实根 由、可得，a-2或a0 故实数a的取值范围是 （3分 ） （）存在 （5分）由（1）可知（1）可知，令，且+00+单调增极大值单调减极小值单调增或 （6分）若，则，则a=0（舍）， （7分） 存在实数，使得函数f（x）的极小值为1 （8分） （）由即故，

10、则在上是增函数，故，所以，在上恒为正。 （10分） （注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分）当时，设，则即， （12分） 上式分别取的值为1、2、3、 、累加得：，（），（），（），（）即，（）又当时，故，当且仅当时取等号。 （14分）6（1）的单调递增区间为（-，-1）和（1，+），单调递减区间为（-1，1）（2） ；（3）试题解析：（1）的定义域为R， （1分）因为当或时，；当时，；（2分）所以的单调递增区间为（-，-1）和（1，+），单调递减区间为（-1，1）（3分）（2）法1：由（1）知，在（-，-1）和（1，+）上单调递增，在（-1，1）上单调递减；所以在处取得极大值，在处取得极小

11、值（5分）因为在，3上有三个零点，所以有：，（7分）即，解得，故实数m的取值范围为（8分）法2：要函数在，3上有三个零点，就是要方程在，3上有三个实根，也就是只要函数和函数的图象在，3上有三个不同的交点（5分）由（1）知，在（-，-1）和（1，+）上单调递增，在（-1，1）上单调递减；所以在处取得极大值，在处取得极小值又，（7分）故实数m的取值范围为（8分）（3）对任意的，都有恒成立，等价于当时，成立（10分）由（1）知，在，1上单调递减，在1，2上单调递增，且，所以在，2上的最大值（11分），令，得（12分）因为当时，；当时，；所以在，1上单调递减，在上单调递增；故在，2上的最小值（13分）

12、所以，解得或，故实数n的取值范围是7（1），（2），（3）证明见解析试题解析：（1）的定义域是， （1分）（舍去）,的单调递增区间是,单调递减区间是 （3分）（2） , 恒成立, 即令，有在单调递减, （7分）（3）由（1）知，在上单调递减,在上单调递增 , 以上个式子相加， 即 （12分）8试题解析：（1）由已知得：，且函数在处有极值，即 ，当时，单调递增；当时，单调递减；函数的最大值为（2）由已知得：，（i）若，则时，在上为减函数，在上恒成立；（ii）若，则时，在上为增函数，不能使在上恒成立；（iii）若，则时，当时，在上为增函数，此时，不能使在上恒成立；综上所述，的取值范围是. 由以上得：，取得： 令，因此.又，故.综上可得：不等式.9（1）（2）当时，在单调减函数，在单调增；当时，在上单调减；在和单调增；当时，在单调增；当时在和单调增；在单调减（3）详见解析试题解析：（1）， ，由题意得， ； （2），当时，当时，函数在单调减；当时，函数在单调增； 当时，即，函数在上单调减；函数在和单调增； 当时，即，函数在单调增； 当时即，函数在单调减区间；函数在和单调增； （3）由题设， 令，则，时， 函数在是减函数，而，时， ，即，