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1、因式分解的一点补充十字相乘法X2+ (p+q) x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1,常数项是两个数之积，一2次项系数是常数项的两个因数之和。因此，我们得到x + ( p+q) x+pq= (x+p) (x+q)练习i ：下列各式因式分解2242221. - x +2 x+152. ( x+y) -8 (x+y ) +48 ;3. x -7x +18;4. x -5xy+6y。答：1. - (x+3) (x-5);2. ( x+y-12 ) ( x+y+4 );23. (x+3) (x-3) (x +2);4. (x-2y) (x-3y )。我们已经学习了把形如x
2、2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。2对于二次项系数不是 1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax +bx+c的二次三项式因式分解。练习2 把2x -7x+3因式分解。分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上 角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数(只取正因数)：2=1 X 2=2 X 1 ；分解常数项：3=1 X 3=3 X 1= (-3)X(-1)=(-1 )X( -3 )。用画十字交叉线万法
3、表示卜列四种情况：1 1131-11-32 X 32 X 12X -32X-11 X 3+2 X 11 X 1+2 X 31 X-3) +2X( -1)1X(-1)+2X( -3)=5=7=-5=-7经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。解2x2-7x+3= (x-3) (2x-1一般地，对于二次三项式ax2+bx+c (0),如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，即a=a132，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=C1C2，把a1, a2, C1, c?排列如下：a1C1a2 X ca1 C2 + a2 C1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1C
4、2+a2C1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1C2+a2C1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+C1与a2x+C2之积，即2ax +bx+c= (aix+ci) (a2x+C2)。像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。2练习3 把6x -7x-5分解因式。分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种2 13 X -52 X( -5) +3 X 1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。2解 6x -7x-5= (2x+1 ) (
5、3x-5 )。指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。对于二次项系数是 1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如 把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是1-31 X 51X 5+1 X( -3) =2所以 x2+2x-15= (x-3) (x+5 )。练习4分析：:解5与-8,. 把5x2+6xy-8y 2分解因式。这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分用十字交叉线分解后，经过观察，选取合
6、适的一组，即1 25 X -41 X( -4) +5 X 2=6225x +6xy-8y = (x+2y ) (5x-4y)。 原式分解为两个关于x，y的一次式。解指出：练习5 把(x-y ) (2x-2y-3 ) -2分解因式。分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的乘法运算，把变形后的 多项式再因式分解。问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？ 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(解 (x-y) (2x-2y-3 ) -2=(x-y) : 2 (x-y ) -3: -22=2 (x
7、-y)-3 (x-y) -2=(x-y) -2: : 2 (x-y) +1=(x-y-2 ) ( 2x-2y+1 )。指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的2,就变为2 (x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y )看作一个x-y)的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。1 -22 X +11 X 1+2 X( -2)=-3“整体”思想方法。课堂练习1 用十字相乘法因式分解：2 2 2 2(1) 2x-5x-12 ; (2) 3x -5x-2 ; (3) 6x -13x+5 ; (4) 7x -19x-6 ;2.把下列各式因式分解：2 2 2 2 2 2(1
8、) 6x -13x+6y ； (2) 8x y +6xy-35 ; (3) 18x -21xy+5y ； (4)2 2(5) 12x -13x+3 ; (6) 4x +24x+27。答案：1 . (1) ( x-4) ( 2x+3) ; (2) (x-2) (3x+1 ); (3) (2x-1) (3x-5);(6) (2x+3) (2x+9)。2. (1) (2x-3y) (3x-2y );作业1.用十字相乘法分解因式：(1) 2x2+3x+1 ;(5) 6x2-11xy+3y2 ；(8) 8m -22mn+15n 。2 .把下列各式分解因式：(1)(4)(7)(2) (2xy+5) (4x
9、y-7 );2 22 (a+b) + (a+b) (a-b) -6 (a-b)。(4) (x-3) ( 7x+2 );(5) (3x-1 ) (4x-3);(3) (3x-y) ( 6x-5y); (4) ( 3a-b) (5b-a)。2(2) 2y +y-6;(6) 4m2+8mn+3n(3)(7)6x2-13x+6 ;2 210x -21xy+2y ；2(4) 3a-7a-6;24n +4n-15; 4x +15x+9; 20-9y-20y2；;(2)(5)(8)6a2+a-35;15x2+x-2 ;7 (x-1 ) 2+4(x-1)2(3) 5x -8x-13 ;2(6) 6y +19y
10、+10 ;2(y+2) -20 (y+2)。1 . (1) (2x+1) (x+1);(3) (2x-3) (3x-2);(5) (2x-3y) (3x-y );(7) (x-2y) (10x-y );(2)(4)(6)(8)2. (1) (2n-3) (2n+5);(2)(3) (x+1) ( 5x-13);(4)(5) (3x-1) (5x+2);(6)(7) - (4y+5) (5y-4);(8)答案:(y+2) ( 2y-3);(a-3) (3a+2);(2m+n) ( 2m+3n);(2m-3n) (4m-5n)。(2a+5) (3a-7);(x+3) (4x+3);(2y+5) (3y+2);(x+2y+3 ) ( 7x-10y-27 )。
