一次函数讲义

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1、一次函数讲义一、 函数1、变量、常量例：苹果单价4元/斤，买2斤、3斤、5斤多少钱？买x斤呢？用y表示价钱。在这个变化过程中，数值发生变化的量为变量（斤），有些量是始终不变的称为常量（单价）2、函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x叫自变量，y叫因变量，y是x的函数，表示y与x关系的式子叫做函数的解析式。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。二、 函数的图像自变量x 的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值y，就确定了一个点（x,y）。函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的

2、每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。例：y=x+0.5的图像描点法画函数图像的一般步骤如下：1）列表（自变量的值和其对应的函数值）2）描点（直角坐标系，描出对应的各点）3）连线（横坐标由小到大的顺序把点用平滑的曲线连接起来）表示函数的三种方法：1）列表法2）解析式法3）图像法(表示函数时，根据具体情况选择适当的方法，有时需要同时使用使用几种方法)三、 一次函数定义1、正比例函数：形如的函数叫做正比例函数。（例：正方形周长）2、一次函数：若两个变量之间的关系式可以表示成的形式，则称是的一次函数，为自变量，为因变量。（1函数：两个变量和，对于的每一

3、个值，都有唯一确定的值和它对应，就说是自变量，是的函数。2、一次：指自变量的最高次是1次。）3、一次函数与正比例函数的关系：（1）正比例函数是特殊的一次函数，即一次函数包含正比例函数。（2）一次函数不一定是正比例函数，当时，是的正比例函数，当时，不是的正比例函数。4、判断一次函数的主要依据：（1）函数（与具有函数关系） （2）整式（函数关系式是整式） （3）最高次是1次（化简后的自变量的最高次是1次） （4）（自变量的系数不为零） 判断正比例函数的主要依据：除了上述4点外，还必须满足。5、掌握层次：（1）给定函数，会判断是不是一次函数或正比例函数。（见练习1） （2）给定一次函数或正比例函数，

4、求满足条件的未知数。（见练习2）四、 函数图象直线1、描点作图法步骤：（1）列表（根据给定函数取点列表）（取自变量与函数的一些对应值） （2）描点（根据列表在平面直角坐标系下进行描点） （3）连线（将这些点按自变量从小到大的顺序连接成平滑的曲线）2、用描点作图法作出的图像（体会描点作图法的步骤）-2-1012-4-2024（1）取点 (2)描点（平面直角坐标系：平面内两条互相垂直且有公共原点的两条数轴就组成了平面直角坐标系。水平为轴，取向右为正方向，竖直为轴，取向上为正方向，坐标轴把平面分成四部分，分别叫第一象限、第二象限、第三象限。第四象限。注意：轴轴上的点不在任何象限内，所以坐标平面由六部

5、分组成，四个象限和两个坐标轴）（3）连线（平滑：不能画成折线）描点作图法：可能不会出考题，但是是研究各类函数图像性质的一种基本思路方法用描点作图法在同一坐标系作出的图象3、结论：（1）一次函数的图象是一条直线，特别地，当时，正比例函数是一条经过坐标原点的直线。（2）由两点确定一条直线，所以两点坐标就可以确定一次函数的图象。因此为了方便，一次函数常用与坐标轴的两个交点和确定函数图象，特别地，正比例函数常用坐标原点（0,0）和另外一点确定函数图象。（3）通过观察，发现与的图象互相平行，可知是由通过向上或向下平移得到。4、掌握层次：给定任意的一次函数，会用描点作图法作图并求其图象与坐标轴的交点坐标。

6、（见练习3）五、 函数图象的性质1、 正比例函数，的符号决定了直线的位置。 图象经过一、三象限 图象经过二、四象限2、 一次函数，的符号决定了直线的位置。例：（2008.郴州）一次函数不经过的象限是（ B ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3、 掌握层次：（1） 给定任意的一次函数解析式，由系数判断图像经过或不经过哪个象限？（见练习4）（2） 给定任意的一次函数图象，由图象判断系数的符号。（见练习5）六、 关于系数的进一步讨论1、 直线中的表示直线向上的方向与轴正方向夹角的大小程度，即倾斜程度；表示直线与轴交点的纵坐标，表示直线与轴交于正半轴，表示直线与轴交于负半轴

7、。2、 两条直线与的位置关系（1） 当时，两直线平行（2） 当时，两直线重合（3） 当时，两直线相交；特别地，当时，两直线交于轴一点。（4） 当，两直线垂直（提高类）七、 其他知识点1、 直线（1） 定义域：或根据实际问题情境（2） 值 域：或根据实际问题情境中自变量的取值范围确定（3） 单调性：，随的增大而增大 ，随的减小而减小（4） 奇偶性：当时，即正比例函数是奇函数 当时，一次函数既不是奇函数也不是偶函数2、一次函数解析式的确定：（1）根据数学规律、关系确定函数解析式（2）正比例函数中，只有一个待定系数，确定正比例函数关系式只需一个条件。（3）在一次函数中，有两个待定系数和，因此确定一次

8、函数关系需要两个条件。3、数形结合三角形面积（选择题、填空题。或者大题中的一小问）一次函数，当时，函数图象直线与轴交点为，与轴交点为，则直线与轴围成的三角形的面积。4、一次函数与方程（组）及不等式关系（1）一次函数与一元一次方程直线与轴交点的横坐标 一元一次方程的解（2）一次函数与二元一次方程（组）直线图象上任意一点的坐标 二元一次方程的解两条直线与的交点的横、纵坐标 方程组的解（3） 一次函数与一元一次不等式一次函数的函数值大于0的自变量的所有值 一元一次不等式的解集一次函数的函数值小于0的自变量的所有值 一元一次不等式的解集。5、掌握层次：用待定系数法求一次函数解析式。（见练习6）练习11 2. 3. 4. 5. 6. 练习21. 为一次函数，求的值。2. 为正比例函数，求的值。练习31. 用描点作图法作出的图象，并求出图象与坐标轴的交点坐标。练习41. 一次函数的图象经过哪几个象限？2. 一次函数的图象不经过哪个象限？3. 已知一次函数的图象一定不经过第四象限，则的符号是（ ）A. B. C. D. 练习51. 一次函数图象如下图所示，判断系数的符号。练习61. 一次函数，时，且图象过，求其解析式。