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1、第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1下列说法中不正确的是()A平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a、b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量答案D解析只有当a、b不共线且a，b时，D才正确2已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos) ，且a b则向量ab与ab的夹角是()A90B60C30D0答案A解析|a|22，|b|22，(ab)(ab)|a|2|b|20，(ab
2、)(ab)3已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，)，若，则等于()A28B28C14 D14答案D解析(2，6，2)，(1,6，3)，21662(3)0，解得14，故选D4(2013北师大附中月考)若向量a，b，c是空间的一个基底，则一定可以与向量p2ab，q2ab构成空间的另一个基底的向量是()Aa BbCc Dab答案C解析因为apq，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为bpq，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为abpq，所以ab、p、q共面，故ab、p、q不能构成空间的一个基底，排
3、除D；故选C5若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)答案D解析l，an0，经检验知选D6(2013清华附中月考)已知a，b是两异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则直线a，b所成的角为()A30 B60C90 D45答案B解析由于，则，()21cos，60，故选B7(2013安徽省合肥一中期末)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且mn，则m，n的值分别为()A， B，C， D，
4、答案A解析由于()，所以m，n，故选A8已知A(1,1,2)，B(1,0，1)，设D在直线AB上，且2，设C(，1)，若CDAB，则的值为()A BC D答案B解析设D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)，(2，1，3)，(1x，y，1z)，2，D(，0)，(，1)，2()3(1)0，9(2013河南省开封月考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为()A1 BC D答案C解析以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，)，F(2,1，)，所以|EF|，故选C10 (2013陕西
5、省高新一中期末)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，AB1，BC2，AA13，则点B到直线A1C的距离为()A BC D1答案B解析过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，(1,2，3)，(x，y，z3)，(x1，y，z)因为，所以，解得，所以(，)，所以点B到直线A1C的距离|，故选B11如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A BC D答案C解析如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴
6、建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)从而(1,1，1)，(1,2,0)，(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n(a，b，c)，则即得令a2，则n(2,1,2)所以点E到平面ACD1的距离为h12如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为，则等于()A120 B60C75 D90答案D解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)则
7、(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)，cos，cos，cos，sin，cos，sin，cos()0，90二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13已知A(1,2,0)，B(0,1，1)，P是x轴上的动点，当取最小值时，点P的坐标为_答案(，0,0)解析设P(x,0,0)，则(x1，2,0)，(x，1,1)，x(x1)2(x)2，当x时，取最小值，此时点P的坐标为(，0,0)14已知正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为_答案解
8、析设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系AB2，A1B11，ACBD2，A1C1B1D1，平面BDD1B1平面ABCD，B1BO为侧棱与底面所成的角，B1BO60，设棱台高为h，则tan60，h，A(0，0)，D1(，0，)，B1(，0，)，C(0，0)，(，)，(，)，cos，故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为15三棱锥PABC中，PAPBPCABAC1，BAC90，则直线PA与底面ABC所成角的大小为_答案45解析由条件知，ABAC1，BAC90，BC，PBPC1，BPC90，取BC边中点E，则
9、PE，AE，又PA1，PEA90，故PAE45，E为BC中点，PEBC，AEBC，BC平面PAE，平面PAE平面ABC，PAE为直线PA与平面ABC所成角16已知矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为_答案解析过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N则可求得AM，BM，CN，DN，MN1由于，|2()2|2|2|22()()212()22(000)，|三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a3e12e2e3，be
10、1e23e3，c2e1e24e3是否共面？请说明理由解析设c1a2b，则1，2即caba、b、c共面18(本小题满分12分)在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG2GD，a，b，c，试用基底a，b，c表示向量解析BG2GD，又ac2b，b(ac2b)abc19(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BCCD1(1)求证：平面ACD平面ABC；(2)求二面角CABD的大小；(3)若直线BD与平面ACD所成的角为30，求线段AB的长度解析解法一：(1)CDAB，CDBC，CD平面ABC又CD平面ACD，平面ACD
11、平面ABC(2)ABBC，ABCD，AB平面BCD，ABBDCBD是二面角CABD的平面角在RtBCD中，BCCD，CBD45二面角CABD的大小为45(3)过点B作BHAC，垂足为H，连接DH平面ACD平面ABC，BH平面ACD，BDH为BD与平面ACD所成的角BDH30在RtBHD中，BD，BH又在RtBHC中，BC1，BCH45，在RtABC中，AB1解法二：(1)同解法一(2)设ABa，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，A(0,0，a)，C(0,1,0)，D(1,1,0)，(1,1,0)，(0,0，a)平面ABC的法向量(1,0,0)，设平面ABD的一个法向量为
12、n(x，y，z)，则有nxy0，naz0，z0，取y1，则x1，n(1,1,0)cos，n，由图可知二面角CABD为锐角，二面角CABD的大小为45(3)(0,1，a)，(1,0,0)，(1,1,0)设平面ACD的一个法向量是m(x，y，z)，则myaz0，mx0，令z1，ya，则m(0，a,1)直线BD与平面ACD所成角为30，cos，mcos60，解得a1，AB120(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，AA15，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DEB1F1(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离解析(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,5)，E(0,0,
