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1、最新高考数学复习资料第七节数系的扩充与复数的引入【考纲下载】1理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法和几何意义,会进行复数代数形式的四则运算3了解复数代数形式的加、减运算的几何意义1复数的有关概念(1)复数的定义形如abi(a、bR)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等abicdiac且bd(a,b,c,dR)(4)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a,b,c,dR)(5)复数的模向量的模叫做复数zabi的模,记作|z|或|abi|,即|z|abi|r(r0,a、bR)2复数的几何意义(1)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面
2、叫做复平面(2)实轴、虚轴在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数(3)复数的几何表示复数zabi复平面内的点Z(a,b)平面向量 .3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则:加法:z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i;减法:z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i;乘法:z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i;除法:i(cdi0)(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3C,有z1z2z2z1,(z1z2)z3z1
3、(z2z3)(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意z1,z2,z3C,有z1z2z2z1,(z1z2)z3z1(z2z3),z1(z2z3)z1z2z1z3.1复数abi(a,bR)为纯虚数的充要条件是a0吗?提示:不是,a0是abi(a,bR)为纯虚数的必要条件,只有当a0,且b0时,abi才为纯虚数2z1,z2是复数,z1z20,那么z1z2,这个命题是真命题吗?提示:假命题例如:z11i,z22i,z1z230,但z1z2无意义,因为虚数无大小概念3若z1,z2R,zz0,则z1z20,此命题对z1,z2C还成立吗?提示:不一定成立比如z11,z2i满
4、足zz0.但z10,z20.1(20xx湖南高考)复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析:选Bzi(1i)1i,复数z在复平面上对应的点的坐标为(1,1),位于第二象限2复数()A2i B12i C2i D12i解析:选C2i.3(20xx新课标全国卷)()A2 B2 C. D1解析:选C1i,|1i|.4已知bi(a,bR),其中i为虚数单位,则ab_.解析:根据已知可得bi2aibi即从而ab1.答案:15设a是实数,且是实数,则a_.解析:为实数,故1a0,即a1.答案:1 前沿热点(十五)与复数有关的新定义问题1复数
5、的定义及运算的考查多以客观题的方式呈现,也常从与实数的一些性质类比的角度命制新定义问题2解决此类问题的关键是抓住新定义或新运算的特征,对所给的新信息进行分析,并将所给信息与所学相关知识结合典例(20xx南昌模拟)在实数集R中,我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似地,我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“”定义如下:对于任意两个复数z1a1b1i,z2a2b2i(a1,a2,b1,b2R),z1z2当且仅当“a1a2”或“a1a2且b1b2”按上述定义的关系“”,给出如下四个命题:若z1z2,则|z1|z2|;若z1z2,z2z3,则z1z3;若z1z2,则对于任意
6、zC,z1zz2z;对于复数z0,若z1z2,则zz1zz2.其中所有真命题的个数为()A1 B2 C3 D4解题指导新定义复数的“序”:对于任意两个复数z1a1b1i,z2a2b2i(a1,a2,b1,b2R),z1z2当且仅当“a1a2”或“a1a2且b1b2”解析对于复数z12i,z213i,显然满足z1z2,但|z1|,|z2|,不满足|z1|z2|,故不正确;设z1a1b1i,z2a2b2i,z3a3b3i,由z1z2,z2z3可得 “a1a3”或“a1a3且b1b3”,故正确;设z1a1b1i,z2a2b2i,zabi,由z1z2可得“a1a2”或“a1a2且b1b2”显然有“a1aa2a”或“a1aa2a且b1bb2b”,从而z1zz2z,故正确;对于复数z12i,z213i显然满足z1z2,令z1i,则zz1(1i)(2i)13i,zz2(1i)(13i)42i,显然不满足zz1zz2,故错误综上正确,故选B.答案B名师点评解决本题的关键有以下两点:(1)根据所给的新定义把所给的复数大小比较问题转化为复数的实部、虚部之间的大小比较问题来处理(2)能善于利用举反例的方法解决问题定义一种运算如下:x1y2x2y1,则复数z(i是虚数单位)的共轭复数是_解析:由定义可知,z(i)i(1)(i)ii2i(1)i1,(1)(1)i.答案:(1)(1)i