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1、解析几何期末试卷及答案1填空(每题3分，共30分)若”卜1, a - b = 2 ,则摄影b =2a已知不共线三点A(l,2,3),B(2,l,-5),C(3,2,-5)则三角形ABC的BC边上的高345678a , b满足,时a + b平分a , b夹角。自坐标原点指向平面：2x + 3y + 6z - 35 = 0的单位法矢量为y2 z2b?C2 =1绕虚轴旋转的旋转曲面方程为x = 02 1 29,3,3x 2 + y 2z 2b2c 2直线IA1；: B1 y: C1：: D1: o与X轴重合，则系数满足的条件为22cBC11=0BCq 220CA11=0CA1 22=D = 0,22
2、2空间曲线y24 4 = 0的参数方程为I x + z 2 = 0x = 14I x = 14 y = 2t 或 y = 2t。z = 12 I z = 12直纹曲面x2 + y2 - z2二0的直母线族方程为w( x + z)二 uy u (x - y)二 w(-y)9s(X + z)二 t(-y) t (x - y)二 sy线心型二次曲线F(x,y) = 0的渐近线方程为 a x + a y + a = 011121310.二次曲线5x2 + 7xy + y2 -x + 2y二0在原点的切线为 -x + y = 02二、选择题(每题 3 分，共15 分)1.二次曲线x2 + 6xy + y
3、2 + 6x + 2y -1 = 0 的图象为(B )A 椭圆型 B 双曲型 C 无心型 D 线心型2. 点O到平面兀：2x y + 2z + 5 = 0的距离为(D )565A 5B - C 6 D -9533. 设 a,b, c 满足关系 a + b + c = 0，贝Ia x b + b x c + c x a = ( C )A、0- - B、_0 - - C、3(axb)_ - - - D、bxc4. 若直线x1 = 1，与尸 出=三相交，贝必有(b )。12九111335A、 X = 1B、九=C、九=D、九=2445. 二次曲线F(x,y)三x2 2xy y2 1 = 0的渐近方向
4、为(A )A、 1：1B、1： 2C、 1：1D、 1： 2三、计算题(6X5=30分)1 已知 a 二任2,1, b = ,1,2, c = %,5,o试证a , b ,bc共面F1 k把c分解为a , b的线性组合。321F f f(a, b, c)=012-a-*f=24 6 - 30 = 0 ,a , b , c 共面650TfF*b-b-fc-而a , b不共线，所以c可以分解为a , b的线性组合c = 2a b2-求与平面x y z - 5=0垂直且通过直线1:千=字=弓的平面兀的方程解平面兀的方程为111= 0 ,即(x 1) 2( y 2) (x 1) = 0 ,整理得x 2
5、 y 6 = 0解单叶双曲面壬+琴|6 = 1上的两族直母线方程为s（丄 + 三）=t（1 - 2）342“ x z、 y、34245w（专 + 4） = u （1 + 彳）342 和 u （丄-）=w（1 -）342将点 p（6,2,8）代入得 w: u = 1:2，s = 0所以，过点p（6,2,8）的两条直母线方程为x - y + - - 2 = 0 234和弐+兰-三-1 = 0 322求通过点p（4,0,-l）且与x轴平行的直线的参数式、对称式、一般式及摄影式方程1 -兰=02-=0 34所求直线的参数式方程为x = 4 +1y = 0z = -1对称式方程为宁=彳=岁一般式方程为,
6、；二摄影式为,二:求两条二次曲线l : x2 一 xy 一 y2 一 x一 y = 0与l : x2 + 2xy + y2 一 x + y = 0的公共直径1对于 l : x2 一 xy 一 y2 一 x 一 y = 0， I2=-1 =一0为中心型44110x一一y 一一=0221 1一 一x - y -2213解出中心坐标为（匕-3） =0 5 52一 1而对于 l : x2 + 2xy + y2 一 x + y = 0， I?-2，为无心型，它的2渐近方向为 X : Y = a : a12 111x 因此公共直径方程为一5 = 1四、证明题（2X5=10分）= 1:1,3y + -512
7、，整理得 x + y + 5 = 0 即 5x + 5 y + 2 = 01.设L、M、N分别是A ABC的三边BC. CA. AB的中点，证明：三中线矢量AL BM CN可以构成一个三角形. 1 一 一 1 一 一 1 证明 因为 AL = (AB + AC) , BM = (BA + BC) , CN = (CA + CB) 2 2 2所以AL + BM + CN = (AB + AC) + (BA + BC) + (CA + CB)222=0因此AL BM cn可以构成一个三角形.x 1 y + 2 z 52.证明直线于3x = 3t + 7与直线 y = 2t + 2共面并求它们所在的
8、平面的方程z = 2t +1证明因为A =432=36 24 + 48 36 48 + 24 = 0，所以两直线共面而它们所在的平面方程为y + 232=0，整理得 2 x 18 y 15 z 37 = 0五、利用坐标变换化简二次曲线x2 xy + y2 + 2x 4y = 0并作图（15分）解因为12 =3=4丰0，所以曲线为中心二次曲线，解方程组1F(x,y)三 x - y +1 = 0F2(xy)三一2x + y 一2 = 0得中心的坐标为x = 0, y = 2 ,取(0,2) 为新的原点，作移轴x= xy = y +2原方程变为 x2 - x y+ y 2 -4 = 0再转轴消去xy项，设旋转角为u，则论守2 = 012从而可取a =晋，所以得转轴公式为x=丄(x-y)v2，经转轴后曲线的方程化简为最简形式y=占x+护x2 + 3 y2 -4 = 02 2x2 y2或者写成标准形式巴-+刍-=18 8这是一个椭圆，它的图形如图所示。
