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1、 第一讲：集合的含义和表示一、知识梳理：（一）元素与集合知识点一：元素与集合的概念1. 元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。（点睛：（1）集合是一个原始的不加定义的概念，像点，直线、平面一样，只能描述性地说明；（2）注意组成集合的对象的广泛性，凡是看得见的，摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象。）2. 集合：把一些元素组成的总体叫做集合。（点睛：集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象）3. 元素与集合的符号表示表示元素：通常用小写拉丁字母a,b,c,表示 集合：通常用大写拉丁字母A,B,C,
2、表示知识点二：集合中元素的特性1. 确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准，如“高个子同学”，“高个子”便是一个含混不清的概念，具有相对性，没有统一的标准、不确定。2. 互异性：是指给定一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素，这一点很容易被大家忽视，在解题中切记这一性质。3. 无序性：是指集合与其中元素的排列次序无关，只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的。知识点三：元素与集合的关系：1. 元素与集合有属于（）和不属于（）两种关系。2. 符号
3、表示：a是集合A中的元素，记作：a A；a不是集合A中的元素，记作：a A。知识点四：集合的分类：集合根据所含元素的个数可分为有限集和无限集。 有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如：中国古代四大发明组成的集合，其中元素个数为有限个，故为有限集； 无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如所有自然数组成的集合，其中元素个数为无限个，故为无限集。常用的数集极其记法：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作：N*或N；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R。（二）
4、集合的表示方法1.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。2.列举法和描述法:列举法 描述法概念把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法一般形式a,b,c,xI|p(x)适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观，明了概括、简洁注：1.用列举法表示集合应注意以下五点：（1） 元素间用分割号“，”；（2）元素不重复；（3）元素无顺序；（4）元素不能遗漏；（5）列举法可以表示有限集，也可以表示无限集。2.描述法的一般形式的结构特征：xI|p(x)”x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p（x）”是集合中元素x的
5、共同特征，竖线不可省略、3. 用描述法表示集合应注意以下四点：（1）写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表达的元素符号）；（2）说明该集合中元素的性质；（3）所有描述的内容都可以写在集合符号内；（4）用于描述条件的语句力求简明、准确。二典型例题分析题型一 集合概念的考查学法指导：1.判断一组对象能否组成集合，关键看对象的标准是否明确如果此组对象的限定范围满足确定性，就可组成集合；否则，不能组成集合2 判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性例1下列所给的对象能构成集合的是_ 所有的正三角形； 比姚明篮球打的好的人某校高一年级16岁以下的学生
6、；平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；参加第30届奥运会的年轻运动员；的近似值的全体规律总结：判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键，而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准，同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性变式：下列对象中不可以构成集合的是()A接近0的数B等于2的数 C所有的正数 D不等于0的偶数题型二 集合中元素的特征学法指导：(1)什么是元素分析法？解决集合问题的关键是能否把用集合语言描述的问题转化为数学问题，而集合离不开元素，因此分析元素是解决集合问题的核心，这种抓住元素进行分析的方法称为元素分析法(2)如何应用元素分析法解决有关集合
7、问题？分析元素的性质，即确定性、互异性、无序性；由元素所具有的性质转化为相关问题的性质，如本例由a、b、c互异转化为ABC三边长互不相等例2(20122013学年重庆市风鸣山中学)若一个集合中的三个元素a，b，c是ABC的三边长，则此三角形一定不是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形变式：a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()A矩形 B平行四边形 C菱形 D梯形规律总结：解答本题应抓住集合的元素具有“互异性”这一特征，由a，b，c，d互异转化为四边形的四条边互不相等.题型三 集合相等的考查学法指导：(1)两个集合是否相等，不能从
8、集合的形式上看，而应该判断出这两个集合的所有元素，再根据集合相等的定义进行判断(2)利用集合相等求表达形式不同的两个集合中某个参变量的数值时，必须同时注意检验元素是否满足互异性例3设集合Ax，y，B0，x2，若集合A、B相等，求实数x、y的值分析根据集合相等的概念可知x、y与0、x2分别对应相等，解方程并根据集合中元素的互异性可求得x、y的值规律总结：由集合相等求参数，应从集合相等的概念入手，寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一个，需进行分类讨论注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍变式：若将上式中的集合A改为a，1，B改为a2，ab,0，其他条件不改变，怎样求a2 013b2
9、 013的值题型四 元素与集合的关系学法指导：1对于元素与集合关系的两点认识：(1)aA与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性可知，对于任何a与A，aA或aA这两种情况必有一种且只有一种成立(2)符号“”“”表示元素与集合的从属关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点要牢记2实数的分类：实数实数无限小数小数例4用符号与填空：(1)0_N*；_Z；0_N；(1)0_N*；2_Q；_Q.(2)3_2,3；3_(2,3)；(2,3)_(2,3)；(3,2)_(2,3)(3) 若a23，则a_R，若a21，则a_R.变式：给出下列关系：R；Q；|3|N*；|Q.其中正确的有(
10、)A1个 B2个 C3个 D4个题型五 集合表示的列举法的考查1列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如1,2,3,4；(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3，1000；(3)元素个数无限但有规律时，也可以数似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为0,1,2,3，2使用列举法表示集合时的注意点(1)元素之间用“，”而不用“、”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性例5用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2x的所有实数解组成的集合
11、；(3)直线y2x1与y轴的交点所组成的集合 变式：用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)式子(a0，b0)的所有值组成的集合题型六 集合表示的描述法考查学法指导：使用描述法时应注意以下几点(1)写清楚该集合中的代表元素，高中教学要研究两类元素：数或点；(2)说明该集合中元素的共同属性，如方程，不等式、函数或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母；(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确例6用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数集合； (2)小于4的全体奇数构成的集合；(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；(4
12、)三角形的全体构成的集合；(5)2,4,6,8分析分析代表元素分析元素满足的条件写出集合规律总结：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质，且用“|”隔开(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(1)、(2)、(5)题变式：用描述法表示下列集合：(1)，；(2)坐标平面内的第一、三象限内点的集合；(3)图中阴影部分(含边界)的点的坐标题型七 分类讨论思想例7已知集合A是由方程ax22x10(aR)的实数解作为元素构成的集合(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的
13、值组成的集合B；(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围题型八 综合问题与解决问题能力的考查（选讲）*例8设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：1S；若aS，则S.请解答下列问题：(1)若2S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若aS，且a0，则1S；(3)集合S能否只含有一个元素？若能，求出这个元素；若不能，请说明理由分析(1)已知2S，利用条件求其他元素；(2)由aS，利用条件推1S；(3)假设结论成立，利用条件解方程 规律总结：解决存在性问题的思路：假设存在；根据已知条件、定理进行推导，如果能求出结果就说明存在，如果无解或推出矛盾就说明不存在(注：带*号的题目，供教师教学时参考选用)三 易错警示1忽略集合中元素的形式特征例9求方程组的解集错解解方程组，将xy1代入x2y29，得xy9，解得x5，y4，故解集为5，4错因分析解方程组时，一对数值作为整体是一个元素，而不是x的解是一个元素，y的解是一个元素思路分析先解方程组，再将解用花括号表示出来它们的顺序不能写反，也可以写成有序数对的形式正解 2没有形成用集合中元素互异性进行检验的意识例10若1x21,2，x，求x的值错解依题意，得x211或x1，解得x0或x1.即x0,1.错因分析忽略了集合中元素互异性的要求
