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1、北京市2011届高考教师命题比赛数学科试题（理科） 本试卷共4页，共21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的
2、答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合要求的1下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是ABCD2如果复数为纯虚数，那么实数的值为A2B1C2D1或 2 3已知，则A、B、C三点共线的充要条件为ABCD4下图是2008年在郑州举行的全国少数民族运动会上，七 位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A， B， C， D，5已知函数的反函数满足，则的最小值为A1B CD6.右图是一个几何体的三视
3、图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A 9B 10C 11 D 127两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为AB CD8已知，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的平面区域为，向区域上随机投一点A，点A落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为A B C D 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分)（一）必做题（9-12题）9在的展开式中，的系数是 .（用数字作答）10一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的
4、数之积为0的概率 .11如图，该程序运行后输出的结果为 .12已知点满足条件的最大值为8， 则 .（二）选做题（1315题，考生只能从中选作2题）13(坐标系与参数方程选做题) （坐标系与参数方程选做题）两直线的位置关系是(判断垂直或平行或斜交) 14(不等式选讲选做题) 不等式对于一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是15(几何证明选讲选做题) 如图所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线，则点A到直线的距离AD为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分12分）已知向量，函数，（）求函数的最小正周期；（）在中，
5、分别是角的对边，且，且，求的值17(本小题满分12分) 一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（）求这箱产品被用户接收的概率；（）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望18（本小题满分14分）如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为. （）求证：D1EA1D； （）求AB的长度； （）在线段AB上是否存在点E，使得二面角。若存在
6、，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.19（本小题满分14分）设函数（）求函数的单调递增区间；（）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围20 (本小题满分14分)圆中，求面积最小的圆的半径长。21(本小题满分l4分) 已知数列中， （）求；（）求数列的通项； （）设数列满足试证明：(1) (2)2009年教师命题比赛数学科试题（理 科）参考答案及评分标准一选择题(大题共8小题，每小题5分，共40分)1选（A） 命题意图：考查四类基本函数图象性质；A 在（0，1）上为增函数B 在（0，1）上为减函数C 在（0，1）上为减函数D 在（0，1）上为减函数2选（A） 命题意图：考查
7、复数的概念；=0且0，求的a=23选（C） 命题意图：考查向量的共线性质；因为，所以A、B、C三点共线的充要条件为的系数成比例，即4选（D） 命题意图：考查茎叶图性质；从小到大排：79，84，84，84，86，87，93. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据84，84，84，86，87，用公式得平均数为85，方差为1.6.5选（C） 命题意图：考查指数函数与对数函数的概念和关系；函数的反函数，所以，ab=16, 2=,最小值为6选（D） 命题意图：考查三视图等立体几何知识;；几何体为圆柱上面放了一个球，该几何体的表面积是圆柱的表面积加球的表面积。S=7选（D） 命题意图：考查双曲线及数列综
8、合知识运用能力；,解得a=5,b=4,c=,所以，e=8选（D） 命题意图：考查几何概型及直线与圆位置关系综合知识运用能力；数形结合，取特殊值：m=0, =1； m=1, =二填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分)984； 命题意图：考查二项式定理运用能力； Tr+1=, 7-r-r=3, r=2 =84的系数是8410； 命题意图：考查排列组合知识运用能力；共有9个（0，0）、6个（0，1）、3个（0，2）、6个（1，0）、4个（1，1）、2个（1，2）3个（2，0）、2个（2，1）、1个（2，2）、共36个基本
9、事件，符合条件的有27个，答案为1145； 命题意图：本题考查程序框图中的循环结构； S=1+2+3+4+5+6+7+8+9=4512-6； 命题意图：本题主要考查线性规划及最优解；考查数学逻辑思维能力。难度高。数形结合：构成一个三角形区域，三个顶点为（0，0），（），（）由两直线斜率关系可知，当取（）时，z有最大值8，带入求得k= -613垂直； 命题意图：考查极坐标方程的运用； 化为直角坐标系下的方程，x+y=2008,y-x=2009,斜率乘积为-1，所以垂直。144a6 命题意图：考查绝对值不等式的性质及运算；对于一非零实数x,x+2恒成立，所以a-5+12 得4a615 命题意图：考
10、查平面几何知识与运算。 AB6 BC3 B=60 ACB=90 AC=3 DCA=B=60 AD=3=三、解答题（本大题共6小题，共80分）16.（本小题满分12分）解：（） -2分函数的最小周期 -4分（） -6分 -7分 是三角形内角 ， 即： -8分 即： -10分 将可得： 解之得： -12分命题意图：考查平面向量与三角函数的综合应用，以及利用正余弦定理解决几何计算的简单问题。17（本小题满分12分）解：（）设“这箱产品被用户接收”为事件，. .3分 即这箱产品被用户接收的概率为 4分 （）的可能取值为1，2，3 5分 =， =， =， 8分 的概率分布列为：12310分= 12分命题
11、意图：本题考查考生的概率知识及运算能力。考查了分布列和期望的求法。18（本小题满分14分）解：（）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：AE平面AD1，AD1是ED1在平面AD1内的射影。又AD=AA1=1， AD1A1D D1EA1D1（三垂线定理） 4分（）设AB=x，四边形ADD1A是正方形，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为如图乙的最短路程为 9分（）假设存在，平面DEC的法向量，设平面D1EC的法向量，则 12分由题意得：解得：（舍去）14分命题意图：本题考查立体几何的距离问题和二面角大小的问题。考查考生的运算能力及空间关系的理解能力。19（本小题满分14分） 解：（）函数的定义域为，1分，2分，则使的的取值范围为，故函数的单调递增区间为 4分（）方法1：，8分令，且，由在区间内单调递减，在区间内单调递增，9分故在区间内恰有两个相异实根12分即解得：综上所述，的取值范围是14分方法2：，6分即，令，且，由在区间内单调递增，在区间内单调递减9分
