《幂函数与指数函数的区别》由会员分享，可在线阅读，更多相关《幂函数与指数函数的区别（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、幂函数与指数函数的区别1.指数函数:自变量x在指数的位置上，ya（,a不等于) 性质比较单一，当1时，函数是递增函数,且y0； 当0a0.2.幂函数：自变量x在底数的位置上，=x(a不等于). a不等于,但可正可负,取不同的值,图像及性质是不一样的。高中数学里面,主要要掌握a1、2、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。3.y=8(-.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8x（a8）,当=-.时,y的值；或者将其看成:幂函数y=x（-0.
2、）(a=-0.7）,当x8时，y的值。幂函数的性质：根据图象,幂函数性质归纳如下:（)所有的幂函数在（,+）都有定义，并且图象都过点 （1,1);（）当a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，+)上是增函数特别地，当a1时,幂函数的图象下凸；当0a1时，幂函数的图象上凸;(3)当a时，0,即和负数无对数;当x=1时，y=0；当时,y0；当0 x 1时，y ；在（0,+)上是增函数(2)当0a1时,x 0，即和负数没有对数；当x=1时,y=0;当x 1时, 0;当0 x 0，故N0，即N为正数,可见零和负数没有对数。 上面的问题: 通常将以为底的对数叫做常用对数,。以为底的对数叫做自然对数,
3、。2对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。 .三个对数恒等式 由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在(a0，a1）前提下有: 4 三个运算法则:指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在0,a的前提下有: () 令a=,=N，则有m=oga，=ogN， , +=oga(MN),即 (2） , 令amM,=，则有m=logM，nloga， ，,即 。(3) ，令amM,则有 m=logaM，mn Mn=m, mn= (R)，n
4、 = 。 5两个换底公式 同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底，在a,a1,M的前提下有:(1) 令loaM=b，则有ab=M，(ab)nn,即 ，即,即:。 （2）,令logaM=b，则有ab=,则有 即,即 ,即 当然，细心一些的同学会发现（1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结论: 例题选讲:第一阶梯 例将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)log216=4; (3)=625； 解： (）24=1 (3)542,og525= 例2解下列各式中的x： (3)2x=；()lo（x-1）=lg9（x+5) 解： (）xog
5、. ()将方程变形为 例3求下列函数的定义域： 思路分析：求定义域即求使解析式有意义的x的范围，真数大于、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。 解: (1)令x24x-5,得(x-)（x+1),故定义域为|x-1，或5 04-31。 所以所求定义域为|-，或0X2第二阶梯 例比较下列各组数中两个值的大小 (）og.4，o28.； (2)lo0.31.8, o2.7； （3)loga5.，loga5.9(a0，a1)。 思路分析： 题中各组数可分别看作对数函数=lo2、yl0.3、y=logax的两函数值，可由对数函数的单调性确定。解： （)因为底数，所以对数函数y=log2x在(0，
6、+）上是增函数，于是log3.LOG2.5；（2)因为底数为0.，又00.oga.9。 说明:本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小,利用函数单调性比较对数的大小,是重要的基本方法。 例5若a0,a1,x0,0，y，下列式子中正确的个数是( ） （1)lxlogay=log(x+); （2）logx-logay=og(xy); （4)loga=ogaxlogy； 、0 B、1 、2 D、3 思路分析：对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数
7、的字母参与运算。如lgaxlogx,lax是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运算,因此都是错误的。 答案: 例6已知lg20.010，3=0.477，求 。思路分析：解本题的关键是设法将的常用对数分解为2，的常用对数代入计算。 解: 第三阶梯 例7若方程lg（ax)(x2)=4的所有解都大于1,求a的取值范围。 思路分析：由对数的性质,方程可变形为关于lg的一元二次方程,化归为一元二次方程解的讨论问题。 解：原方程化为(lgx+lga）（ga+lgx)=4。 2lg2x+3lgalgx+lga-0，令t=lgx，则原方程等价于 22+lg+lg2a-4=,(） 若原方程的所
8、有解都大于1，则方程（)的所有解均大于,则 说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。 例将y=2x的图像() A、先向左平行移动1个单位 B、先向右平行移动1个单位 C、先向上平行移动个单位 D、先向下平行移动个单位 再作关于直线y对称的图像，可得函数ylg2(x+1）的图像。 思路分析：由于第二步的变换结果是已知的,故本题可逆向分析。 解法1：在同一坐标系内分别作为y2x与log2(x1)的图像，直接观察，即可得D。解法：与函数y=og2(x+)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y2-1的图像,为了得到它，只需将y=的图像向下平移1个单位。 解法3: 本身。函数y=x的
9、图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0,0)点，因此排除A、B、C,即得D。 说明:本题从多角度分析问题、解决问题,注意培养思维的灵活性。例已知log89=,1b=,求og365的值；（用含有a、b的式子表示）思路分析: 当指数的取值范围扩展到有理数后,对数运算就是指数运算的逆运算(扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算）。因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时,一般要把问题转化,即统一到一种表达形式上。 解：由18b5，得blog18,又log9=a,lg18lg185=log34ab,则 说明:在解题过程中,根据问题的需要指数式转化为对数式,或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的教学思想,要注意学习、体会，逐步达到灵活应用。 详细题解 .求值:(1) (2) (3) 解： (1） 。 () (3） 注意:lg2=log102，此为常用对数，g2=(lg2)2，区别于。 2.求值:(1） （) (3)解: (1） （2)。（3)法一： 法二:注意:运用换底公式时，理论上换成以大于0不为任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中某个对数的底为标准,或都换成以0为底的常用对数也
