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1、射影面积法（cosq =s射影凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（scos二）求出二面角的大小。s斜例1、如图，在底面是一直角梯形的四棱锥 S-ABCD中，AD / BC,Z ABC=90 , SA丄平面 ABC , SA=AB=BC=1 ,1AD= 2 .求面SCD与面SAB所成的角的大小。解法1:可用射影面积法来求，这里只要求出Sscd与Ssab即可，故所求的二面角0应满足cost =二=?勺卫 皿汽返=3 2 2例2. （2008北京理）如图，在三棱锥 P-ABC中，AC =BC =2， ACB =90，AP 二 BP 二 AB
2、，PC _ AC .（I）求证：PC _ AB ;（n）求二面角 B - AP -C的大小；CP于是可求得:AB = BP = AP 二、AC2 CB2 = 2、2 ,BE 二.AB2 - AE2 = . 6 ,解：(I)证略(n) ： AC=BC , AP=BP , APC BPC .又 PC _ AC , PC _ BC 又 ACB = 90；，即 AC _ BC，且 ACR PC 二 C ,BC _ 平面 PAC .取AP中点E 连结BE, CE .AB 二 BP , BE _ AP.EC是BE在平面PAC内的射影，.CE _ AP.人。是厶ABE在平面 ACP内的射影，.一i1-AE
3、= EC - 2 则 S射 = S aCEAE CE = ? 2 2 = 1,S原=S abe = AE * EB -. 2 * 6 = . 3设二面角B - AP -C的大小为二，则cos：二射面角B-AP-C的大小为！： - arcco3练习1:如图5, E为正方体 ABCD AiBiCiDi的棱CCi的中点，求平面 ABiE和底面AiBiCiDi所成锐角的余弦值.A2（答案：所求二面角的余弦值为cose ）.3图5E2.如图一，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是矩形， PA _平面ABCD ,AP =AB =2,BC =2.2,E, F 分别是 AD, PC 的中点.证明：PC _
4、平面BEF ； （2）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.题（1）解略；题（2）中平面BEF与平面BAP夹角即为平面 BEF与平面 BAP所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得 的图形便是二面角的平面角 如图一：:PA_ 平面 ABCD，BC 平面 ABCD, PA _ BC 又、BC _ AB,ABPA 二 A,. BC _ 平面 BAP.又：BC 平面PBC,.平面PBC_平面BAP.由题（1），PC丄平面BEF，PCu平面BEF，二平面PBC丄平面BEF 所以.PBF是所求二面角的平面角:PB = Vpa2 + AB2 = 2血,P
5、F =丄 PC =丄Jab2 + bc2 + pa2 ,2 2pf 72兀.sin PBF, PBF .PB 24即平面BEF与平面BAP夹角为一.4方法二：平移平面法如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面 角相等或互补利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角如图二：取BC的中点G，连接FG, EG ：E,F 分别是 AD,PC 的中点，EGLAB, FGl PB.又fg Reg 二g, abpb 二 b,-平面EFG二平面BAP.-二面角B - EF - G的大小就是平面BEF与平面BAP夹角的大小.可以证明 BFG为二面角B-EF
6、-G的平面角，并求出其大小为4方法三：射影法IS利用公式cos，其中S表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，S表示S此多边形在另一个半平面射影的面积，二表示原图形与射影图形所成的二面角如图三：取PB的中点H，连接FH , AH ,-1I-1；F 为 PC 中点， FH 二 BC, AE 二 BC .由解法一知，BC _平面BAP,.FH _ 平面 BAP , AE _ 平面 BAP,.点F、E在平面BAP内的射影分别为 H、A.=BEF在平面BAP上的射影为ABAH .可以证明；BEF和：BAH均为直角三角形1:HF ； BC, AE ： BC,HF 二 BC BC , 2.四边形HFEA
7、为平行四边形，.EF二AE.记平面BEF与平面BAP夹角为二，则cost =S BEF所以4,即平面BEF与平面BAP夹角为-.3已知 ABC是正三角形，PA_平面ABC且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。B思维二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。解1:（三垂线定理法）取AC的中点E,连接BE,过E做EF_PC，连接BF PA_ 平面 ABC，PA 平面 PAC.平面PAC _平面 ABC,平面PAC 平面ABC=AC.BE _ 平面 PAC图1 由三垂线定理知 BF_PC B
8、FE为二面角A-PC-B的平面角设 PA=1,E 为 AC 的中点，BE=- ,EF=24tan BFE =里 a 6 EF/ BFE =argtan 6解2：（三垂线定理法）取BC的中点E，连接AE，PE过A做AF_PE, FM _ PC,连接FMAB=AC,PB=PCAE _BC,PE_BCBC 平面PAE,BC平面PBCAEB平面PAE_平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AMPCFMA为二面角A-PC-B的平面角设 PA=1, AM=，,AF=空竺=日2PE 7.sin FMA =AFAM.4242FMA =argsin -解3:（投影法）过B作BE _ AC于E,
9、连结PEPA_平面ABC , PA 平面PAC.平面PAC _平面 ABC,平面PAC 平面ABC=AC.BE _ 平面 PAC图3PEC是PBC在平面PAC上的射影设 PA=1,则 PB=PC= 2 ,AB=1_丄 _7_S PEC, S PBC :44由射影面积公式得,COST二 argcos4.在单位正方体 ABQP -ABCD中，求二面角A-AC-B的度数三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面 角的平面角，进而求解。解法一 作AO _ AC ,取AB的中点M ,连结OM AM AM _ABAm bC= AM _ 平面 A BCAbPIbc 二 B由三垂线逆定理知OM _AC.AOM为所求二面角 A - AC - B的平面角在 RtLAAC 中A。喘 Apf.sinAOMAM . 3AO 一 2BiDGBA.AOM =60射影法利用斜面面积和射影面积的关系：S射影二S斜面cost （ v为斜面与射影所成二面角的平面角）直接求解。解法二、取AC的中点G，连结BGBG _ ACBG AA= BG _ 平面 AACACD AA 二 AL ABC在平面A,AC上的射影为L A,GCS 二SRtLA|BC -2、2 2 2S AGC - SRt A.AG -1244由- EtfBC COST1从而二面角 A - AQ - B的大小为605
