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1、2010年江苏高考数学试题及参考答案数学试题参考公式:锥体的体积公式锥体=,其中是锥体的底面面积,是高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.设集合,则实数的值为_【解析】:由题意得,又由不符合题意,无解;经检验得 .满足(为虚数单位),则的模为_【解析】:由得即3.盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是_ _ 【解析】:所有基本事件为6种:(黑,白1),(黑,白2), (黑,白3) ,( 白1,白2) ,( 白1,白3), ( 白2,白3).两个颜色不同有3种: (黑,白1),(黑,白2),
2、(黑,白3),.4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽取了根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据均在区间中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的根中,有_根棉花纤维的长度小于.【解析】:由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于的频率为,故频数为.是偶函数,则实数的值为_【解析】:函数是偶函数, 设,由题意分析知应为奇函数(奇函数奇函数=偶函数),又 ,则所以.中,已知双曲线上一点的横坐标为3,则点到此双曲线右焦点的距离为_ w ww.ks5 u.c om【解析】:由题意,M点的坐标可求得为:),双曲线的右焦点的坐标为:(4,0) 由两点间的距离公式求得:,或利用统
3、一定义可得即.7.右图是一个算法流程图,则输出的S的值是_【解析】:由流程图得.即8.函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为,其中,若,则的值是_【解析】:函数在点处的切线方程为,又切线经过,则,又,故,数列是等比数列,若,则,所以.中,已知圆上有且只有四个点到直线的距离为1,则实数的取值范围是_ w ww.ks5 u.c om【解析】:如图,圆的半径为2,圆上有且仅有四个点到直线的距离为1,问题转化为原点(0,0)到直线的距离小于1.即.上的函数的图象与图象交于点,过点作轴的垂线,垂足为,直线与函数的图象交于点,则线段的长为_【解析】:由题意得:,即,得 结合图象分析得:.,则满足不等式的
4、的取值范围是_【解析】:先画出函数的图象,如下图,或即或, 综上所述, 满足不等式的的范围是为实数,满足38,49,则的最大值是_【解析】:将不等式49两边平方得1681利用倒数性质将不等式38变为,不等式相乘得,,则的最大值是27.中,角的对边分别为,若,则的值是_ 【解析】: 由得,由.的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则的最小值是_【解析】:由题意知,梯形是有一底角是等腰梯形, 设等腰梯形的腰长为,则上底是,高是,由得,当时, ,是减函数;当时, ,是增函数.故时, 有最小值是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写
5、出文字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,点.(1) 求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2) 设实数满足(),求的值.解:本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力 (1)由题设知,则,所以,.故所求的两条对角线长分别为(2)由题设知,由,得从而,所以.16. (本小题满分14分)如图,四棱锥中,平面,.(1)求证:.(2)求点到平面的距离来源解:本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空闻想象能力、推理论证能力和运篁能力(1)因为平面,平面,所以.由,得又,平面,平面,所以平面,因为平面,所
6、以.(2)连结.设点到平面的距离为.因为,所以从而由,得的面积.由平面及,得三棱锥的体积因为平面平面,所以,又,所以由,得的面积,由,得因此点到平面的距离为17.(本小题满分14分)某兴趣小组要测量电视塔的高度(单位),如示意图,垂直放置的标杆高度,仰角.(1)该小组已经测得一组的值,算得,请据此算出的值;(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离(单位),使与之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为,问为多少时,最大?解:本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识。考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力(1)由,及,得,解得.因此,算出的电视
7、塔的高度是(2)由题设知,得,由得,所以,当且仅当,即时,上式取等号所以当时,则,所以当时,是.18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左右顶点为,右焦点为,设过点的直线与此椭圆分别交于点,其中.(1)设动点满足,求点的轨迹;(2)设,求点的坐标;(3)设,求证:直线必过轴上的一定点(其坐标与无关).解:本小题主要考查求简单曲线的方程。考查直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力由题设得(1)设点,则由得化简得,故所求点P的轨迹为直线(2)由及得则点从而直线的方程为;由及得则点从而直线BN的方程为.由,解得所以点的坐标为(3)由题设知,直线的方程为直
8、线的方程为点满足得因为则解得从而得点满足解得若则由及得,此时直线的方程为,过点若则直线的斜率.直线的斜率,得所以直线过点 因此,直线必过轴上的点(1,0)w ww.ks5 u.c om19(本小题满分16分)设各项均为正数的数列的前项和为,已知,数列 是公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式(用表示)(2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立,求证:的最大值为.解:本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识。考查探索、分析及论证的能力(1)由题设知,则当时,由得解得故当时,.又,所以数列的通项公式为(2)由及得于是,对满足题设的有所以c的最大值.另一方面,任取实数,设为
9、偶数,令则符合条件,且于是,只要,即当时,就有所以满足条件的从而,因此的最大值为20. (本小题满分16分)设使定义在区间上的函数,其导函数为.如果存在实数和函数,其中对任意的都有,使得,则称函数具有性质.(1)设函数,其中为实数.(i)求证:函数具有性质;(ii)求函数的单调区间.(2)已知函数具有性质.给定设为实数,,且,若,求的取值范围.解:本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力(1)(i)由得因为时,所以函数具有性质(ii)当时,由得所以从而函数在区间上单调递增当时,解方程,得。因为所以当时,;当时
10、.;当时.0从而函数在区间上单调递减,在区间上单调递增综上所述,当时,函数的单调增区间为当时,函数的单调减区间为单调增区间为(2)由题设知,的导函数其中函数对于任意的都成立,所以,当时,从而在区间上单调递增当(0,1)时,有,得,同理可得,所以由的单调性知,从而有,符合题设.当时,有,于是及的单调性知,所以,与题设不符当时, 同理可得,进而得,与题设不符. 因此,综合得所求的的取值范围为(0,1)数学(附加题)21【选做题】本题包括四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修:几何证明选讲(本小题满分10分)如图,是
11、圆的直径,为圆上一点,过作圆的切线交的延长线于点,若,求证:证明:本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力连结,因为是圆的直径,所以因为是圆的切线,所以,又因为所以于是从而即得故B选修:矩阵与变换(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,已知点设为非零实数,矩阵点在矩阵对应的变换下得到的点分别为的面积是的面积的2倍,求的值解:本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力由题设得由可知.计算得的面积是l,的面积是则由题设知所以的值为或C选修:坐标系与参数方程(本小题满分l0分)在极坐标系中,已知圆与直线相切,求实数的值解:本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查转化
12、问题的能力将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为即直线的方程为由题设知,圆心到直线的距离为1,即有解得或故的值为或D选修:不等式选讲(本小题满分10分)设是非负实数,求证:证明:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力.由是非负实数,作差得当时,从而得当时,,从而得所以【必做题】第22题、第23题。每题10分,共计20分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22(本小题满分10分)某工厂生产甲、乙两种产品甲产品的一等品率为二等品率为;乙产品的一等品率为二等品率为生产l件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产l件乙产品,若是一
13、等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元设生产各件产品相互独立 (1)记(单位:万元)为生产1件甲产品和l件乙产品可获得的总利润,求的分布列; (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于l0万元的概率.解:本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解的能力(1)由题设知,的可能取值为且由此得的分布列为:-325lO(2)设生产4件甲产品中一等品有件,则二等品有件.由题设知解得又,得或所以 故所求概率为0.819223(本小题满分l0分)已知的三边长都是有理数(1)求证:是有理数;(2)求证:对任意正整数,是有理数证明:本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识考查推理论证的能力与分析 问题、解决问题的能力.(1)由为有理数及余弦定理知是有理数(2)用数学归纳法证明和都是有理数当时,由(1)知是有理数,从而有,也是有理数.假设当时,和都是有理数当时,由及和归纳假设,知与都是有理数即当时,结论成立综合可知,对任意正整数,是有理数ww