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1、2010年第七届苏北数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了第六届苏北数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关 的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛报名号为：1866参赛组别（本科或专科）：本科参赛队员（签名）：队员1
2、：刘敏队员2：李苏苇队员3：周成文获奖证书邮寄地址：四川省成都市西南交通大学犀浦校区921信箱2010年第七届苏北数学建模联赛编号专用页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：1866竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：摘要本题所建立的模型旨在解决，在不确定环境下，通过对供应链中的生产量和订购 量随机波动情况的分析，在市场利润最大化的原则下，寻求一种生产与订购的最 优决策。我们的主要思路如下:在不确定环境下，商品实际生产量可能不等于订购量 所指定的计划生产量，呈现随机波动，我们借鉴概率学中的“同等无知”原则【1】 用均匀分布函数来近
3、似反映这种随机波动。市场需求量是随机的，我们同样采用 均匀分布来约束它。商家制定的订购量取决于市场需求量。在分析了供应链中生 产量、订购量以及市场需求量之间的关系后，为了明确生产商与销售商各自利润 的变化函数，我们采用分类讨论的思想，给出了利润变化函数的解析表达式。为 了找出最大利润，我们利用概率学中的期望运算以及条件极值的方法来解决，从 而确定了利润最大化情况下所对应的生产量与订购量。此模型的优点是大大的简化了模型的分类建立和数值计算。模型构成和求解 显得非常明晰，同时也不失一般性，可以用于在不确定环境下，有效地给出供应 链成员的生产与订购的初等估计决策，对不确定环境下供应链成员的生产与订购
4、 决策具有现实指导作用。关键字：“同等无知”原则分类讨论期望条件极值:问题重述供应链是一种新的企业组织形态和运营方式，包括从客户需求信息开始经过 原材料供应、生产批发销售等环节，到最后把产品送到最终用户的各项制造和商 业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下， 研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。（1）考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购 商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给 最终顾客。若假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的， 即由于受到各种随机因素的影响，商品
5、实际产量可能不等于计划产量，呈现随机 波动。请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最 优计划产量：单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5,单位商品批发缺 货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比 如信誉损失成本）为15,单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足 客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25,单位商品批 发价格为40，单位商品销售价格为60，商品市场需求量为400。商品生产量的 波动区间为0.85,1.15，即若生产商计划生产量为Q，则产
6、品实际产量的区间 为0.85Q,1.15Q.（2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，即市场 需求量是一个随机变量，请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的 最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最 优计划产量：单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5,单位商品批发缺 货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比 如信誉损失成本）为15,单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足 客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25,单位商品批 发价格为40,单位商品销售价格为60。商品
7、市场需求量的期望为400，市场需 求量的波动区间为0.8,1.2,即实际市场需求量的区间为320,480。商品生产 量的波动区间为0.85,1.15,即若生产商计划生产量为Q,则产品实际产量的 区间为0.85Q,1.15Q.（3）实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品（或原材料） 生产的不确定性和产成品生产的不确定性，如石油、煤炭、钢铁等供应链中，一 级生产商生产原产品（原油、原煤、铁矿石），二级生产商（炼油厂、洗煤厂、钢 铁厂）利用原材料生产成品；又如，在副食品生产中，农民种植农产品，食品生 产商利用农产品生产副食品。以上供应链中，一级生产商生产原产品（或原材料）， 二级生产商向
8、一级生产商订购原产品（或原材料），并通过加工原产品（或原材 料）生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。若假设产成 品的市场需求量是确定的，请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中， 二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产 商）的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中二级生产商的最优订购量和一级生 产商的最优计划产量：单位原产品生产成本为20，单位原产品库存成本为5,单 位原产品缺货成本（即由于一级生产商的供应量不足二级生产商的订购量，而产 生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位产成品生产加工成本为10, 单位产成品库存
9、成本为7,单位产成品缺货成本（即由于二级生产商的供应量不 足市场的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为30, 二级生产 商投入单位原产品产出产成品数量为0.7 （比如煤炭供应链中，洗煤厂入洗1吨 原煤，产出0.7吨精煤），原产品价格为40,产成品价格为95,产成品市场需求 量为280。原产品生产量的波动区间为0.85,1.15，产成品生产量的波动区间 为0.9,1.1.在两级生产不确定的供应链中，如果产成品的市场需求量也是一个随机变量，如 何改进你所建立的数学模型，确定二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优 计划产量？二：问题分析和模型假设：在不确定环境下，商品实际生产量可能不等
10、于订购量所指定的计划产量，呈 现随机波动，我们借鉴概率学中的“同等无知”原则，用均匀分布函数来近似反 映这种随机波动。市场需求量是随机的，我们同样采用均匀分布来约束它。模型假设如下：1. 销售商先发出订单，生产商根据定量组织生产；2. 销售商明确订单对供货情况得影响；3. 生产商和销售商以利益最大化为生产和销售目标；4. 生产商的实际生产量小于订购量时，供货量为生产量;5. 不考虑前阶段的存货；三：模型建立与求解问题（一）符号说明：1. X：商品实际生产量；2. Q：计划生产量；3. P：订购量；4. g（x）:生产商的利润；5. f（x）：销售商的利润；6. p（x）: x的密度函数；（二）
11、模型建立：由x是0.85Q,1.15Q区间上的均匀分布得p（x）=卫 3 Q建立生产商和销售商的利润函数：生产商的利润g(x) = 135 x - 15 P x - P45 P 一 25 x x Px 400x 400400 x PP 400 时:45 x 10000销售商的利润f(x)二 26000 - 45 x26000 - 45P（三）模型求解:先求生产商的利润期望：E(g(x) = JP (35 x 一 15 P) p (x) dx + pQ (45 P 一 25 x) p (x) dx0.85 QP=-100 匚-97.25Q+215PQ由于生产商根据定量计划产量，即Q与P相关因此可
12、以先将P看成常数，从E(g(x)中求出Q与P的关系对E(g(x)关于Q求导并令其为零得：dE (g (x)=100卩2 -97.25=0dQQ2解得 Q 1.014P即计划生产量为1.014P时，生产商利润的期望最大。下面求销售商的利润期望：P 0dP因此P=400时E(f(x)取得最大值7435.8P 400时，求f(x)的期望为：E(f(x) =f400 (45 x 10000 ) p (x) dx + f P (26000 45 x) p (x) dx + f115 Q (26000 45 P) p (x) dx0.85 Q400P=-54.1875Q+75 P2-172.5P+1280
13、00- 24QQ将Q=1.014P代入并对E(f(x)关于P求导得：dE (f (x) =153.48+ 23668639dPP 2由于 p 400 时 dE (f (X) 0dP因此P=400时E(f(x)取得最大值综合 P 400两种情况得P=400时E(f(x)取得最大值 于是销售商的最优订购量为400单位生产商的最优计划产量为1.014x 400=405.6单位问题(2)(-一)符号说明：1.x：实际生产量；2.Q：计划生产量；3.y：实际需求量；4.P：订购量；5.g(x):生产商的利润;6. f(x y )：实际需求量为y时销售商的利润；7. p (x): x的密度函数；8. p
14、(y): y的密度函数；(二)模型建立：由x是0.85Q,1.15Q区间上的均匀分布得p (x)= -103 Q 由y是320,480区间上的均匀分布得p(y)二丄160 建立生产商和销售商的利润函数： 生产商的利润g(x) = |35 X - 15 P X PP y 时：ad盘弘工P /、45 x 一 10000 x PPy 时:45 x 一 25 yx y销售商的利润 f(x y ) = 65 y - 45 xy x P(三)模型求解：由上题中的结论得计划生产量Q=1.014P生产商利润的期望最大 下面求销售量为y时销售商的利润期望:P y时，求f(x |y )的期望为：E(f(x y )= r (45 x 25 y) p (x) dx + J15 Q (45 P 25 y) p (x) dx0.85 QP=54.1875Q75 匚 +172.5P-25y
