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1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）参考公式： 如果事件，互斥，那么； 如果事件，相互独立，那么； 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高； 锥体体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高第卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2016年天津，文1，5分】已已知集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交
2、集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏（2）【2016年天津，文2，5分】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】甲不输概率为，故选A【点评】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件（3）【2016年天津，文3，5分】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一
3、个棱锥，得到的几何体的正视 图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B【点评】1、解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2、三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据（4）【2016年天津，文4，5分】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由题意得，故选A【点评】求双曲线的标准方程关
4、注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定，的值，常用待定系数法（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为若已知渐近线方程为，则双曲线方程可设为（5）【2016年天津，文5，5分】设，则“”是“”的（ ）（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，所以充分性不成立；，必要性成立，故选C【点评】充分、必要条件的三种判断方法1、定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示
5、相结合，例如“”为真，则是的充分条件2、等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3、集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件（6）【2016年天津，文6，5分】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由题意得，故选C【点评】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解
6、决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化（7）【2016年天津，文7，5分】已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】设，故选B【点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来（8）
7、【2016年天津，文8，5分】已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，所以，因此，故选D【点评】对于三角函数来说，常常是先化为的形式，再利用三角函数的性质求解三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分（9）【2016年天津，文9，5分】是虚数单位，复数满足，则的实部为 【答案】1【解析】，所以的实部为1【点评】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于
8、基本题首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为（10）【2016年天津，文10，5分】已知函数为的导函数，则的值为 【答案】3【解析】【点评】求函数的导数的方法：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；(5)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导（11）【2016年天津，文11，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为
9、 【答案】4【解析】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；结束循环，输出【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项（12）【2016年天津，文12】已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆 心到直线的距离为，则圆的方程为 【答案】【解析】设，则，故圆的方程为【点评】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于，的方程组求解若已知条件
10、没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于，的方程组求解（2）几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程（13）【2016年天津，文13，5分】如图，是圆的直径，弦与相交于点，则线段CE的长为 【答案】【解析】设，则由相交弦定理得，又，所以，因为 是直径，则，在圆中，则，即，解得【点评】1、解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握2、应用相交
11、弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等（14）【2016年天津，文14，5分】已知函数在R上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是 【答案】【解析】由函数在上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 三
12、、解答题：本大题共6题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）【2016年天津，文15，13分】在中，内角所对应的边分别为，已知（1）求；（2）若，求的值解：（1）在中，由，可得，又由得，所以，得； （2）由得，则，所以【点评】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证（16）【2016年天津，文16，13分】某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要，三种主要
13、原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有种原料200吨，种原料360吨，种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用，表示生产甲、乙两种肥料的车皮数（1）用，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解：（1）由已知，满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分（2）设利润为万元，则目标函数，这是斜率为，随变化的一族平行直线为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大
14、又因为，满足约束条件，所以由图可知，当直线 经过可行域中的点时，截距的值最大，即的值最大解方程组得点的坐标为，所以答生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元【点评】解线性规划应用问题的一般步骤是：（1）分析题意，设出未知量；（2）列出线性约束条件和目标函数；（3）作出可行域并利用数形结合求解；（4）作答而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法（17）【2016年天津，文17，13分】如图，四边形是平行四边形，平面平面，为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值解：（1）取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）在中，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面
