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1、。1 行列式的定义及性质1.1定义 3n 级行列式a11a12La1na21a22La2nMMMan1an2Lann等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积a1 j1 a2 j2 L anjn(1) 的代数和 ,这里 j1 j 2 L jn 是1,2,L, n 的一个排列 ,每一项 (1)都按下列规则带有符号 :当 j1 j 2 Ljn 是偶排列时 , (1) 带正号，当j1 j2 Ljn 是奇排列时 , (1)带有负号 .这一定义可写成a11a12La1na21a22L a2 nj1 j2L jna1 j1 a2 j2 L anj nMMMj1 j2 L jn1an1an 2Lann这里表
2、示对所有 n 级排列求和 .j1 j2L j n1.2性质 4性质 1.2.1行列互换 ,行列式的值不变 .性质 1.2.2某行 (列)的公因子可以提到行列式的符号外 .性质 1.2.3如果某行 (列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和 ;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行 (列 )与原行列式相同 .性质 1.2.4两行 (列)对应元素相同 ,行列式的值为零 .性质 1.2.5两行 (列)对应元素成比例 ,行列式的值为零 .性质 1.2.6某行 (列)的倍数加到另一行 (列)对应的元素上 ,行列式的值不变 .-可编辑修改 -。性质交换两
3、行 (列)的位置 ,行列式的值变号 .2 行列式的分类及其计算方法2.1箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行(列)或第 n 行(列)及主 (次 )对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算 .即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零 .例1计算 n阶行列式a111L11a20L0Dn 1 0a3L0a2 a3 L an 0 .LLLLL100Lan解将第一列减去第二列的1 倍，第三列的1 倍 L 第 n 列的 1 倍，得a2a3ana11111L1Lana2D n0a20L000a3L0LLLLL000Lannn1aia1.i
4、 2i 2ai2.2 两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是 b 的行列式，初看，-可编辑修改 -。这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当bc 时可以化为上面列举的爪形来计算，当bc 时则用拆行 (列)法 9 来计算 .例 2计算行列式a1ccLcba2cLcDn bba3Lc .LLLLLbbbLan解当 bc 时a1bbLbba2bLbDnbba3Lb .LLLLLbbbLan将第 2 行到第行 n 都减去第 1行，则 Dn 化为以上所述的爪形，即a1bbLbba1a2b0L0Dn b a10a3b L0 .
5、LLLLLba100Lanb用上述特征 1的方法，则有a1 b ba1n100L0bi 2 aiDnba1a2b0L0ba10a3bL0LLLLLba100Lan bnnaib ba1 b L ai 1 b ai 1 b L an b .i 1i 1当 bc 时，用拆行 (列)法 9，则-可编辑修改 -。x1a a Lax1aa La 0b x2aLab x2aLa 0Dn b b x3Lab b x3La 0LLLLLLLLLLb b b L xnb b b L b xn bx1aa La x1aa L0b x2aLab x2aL0b b x3Lab b x3L0LLLLLLLLLLb b
6、b Lbb b b L xn bx1a0LLabax2aLLaLLLLa xnb Dn 1 .babaLxn 1aa00L0b化简得Dnb x1ax2a Lxn 1axnb Dn 1 .而若一开始将 xn 拆为 axna ，则得Dna x1bx2b Lxn 1bxna Dn 1 .由 1xnb2xna ，得1nnDnaxi b bx j a .a bi 1j1有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算 .例 3计算行列式dbbLbcxaLaDncaxLan2 .LLLLLcaaLx12-可编辑修改 -。解将第一行a ，第一列a ，得bca2 daaL
7、abcDnbcaxaLaa2aaxL.aLLLLLaaaLx即化为上 21 情形，计算得n 1n2Dndxan1adbcxa.而对于一些每行 (列)上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因子的，则用升阶法 8来简化 .例 4计算行列式1 x 2x xLx x1121nx x1x 2Lx xDn2 122n.LLLLxn x1xn x2L 1 xn 2解将行列式升阶，得1x1x2Lxn0 1 x12x1 x2Lx1xnDn0 x x 1 x2Lxxn.2 122LLLLL0xn x1xn x2L 1 xn2将第 i 行减去第一行的 xii 2,L , n 倍，得1x1x2Lxnx110L
