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1、概率论与数理统计习题五1 .已知,利用切比雪夫不等式估计概率.解: 据切比雪夫不等式 .2设随机变量的数学期望,方程,利用切比雪夫不等式估计.解:令,则由切比雪夫不等式 , 有.3. 随机地掷颗骰子,利用切比雪夫不等式估计颗骰子出现点数之和在之间的概率.解: 设为颗骰子所出现的点数之和;为第颗骰子出现的点数,则,且独立同分布,分布律为:,于是所以 ,因此 故由切比雪夫不等式得:.即颗骰子出现点数之和在之间的概率大于等于 .4. 对敌阵地进行1000次炮击,每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望为,方差为,求在次炮击中,有颗到颗炮弹击中目标的概率.解: 以表示第次炮击击中的颗数 有 ,据 定理:则 .
2、5. 一盒同型号螺丝钉共有个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是,标准差是.求一盒螺丝钉的重量超过的概率.解: 设为第个螺丝钉的重量,且它们之间独立同分布,于是一盒螺丝钉的重量,且由,知,由中心极限定理有: .6. 用电子计算机做加法时,对每个加数依四舍五入原则取整,设所有取整的舍入误差是相互独立的,且均服从上的均匀分布.(1)若有个数相加,则其误差总和的绝对值超过的概率是多少?(2)最多可有多少个数相加,使得误差总和的绝对值小于的概率达到以上.解: 设为第个加数的取整舍入误差,则为相互独立的随机变量序列,且均服从上的均匀分布,则 (1) 因很大,由独立同分布中心极限定理对该误差
3、总和, .即误差总和的绝对值超过的概率达到 .(2) 依题意,设最多可有个数相加,则应求出最大的,使得由中心极限定理: .即查正态分布得即取,最多可有个数相加 .7. 在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险,在1年中,每人的的死亡率为,参加保险的人在年第天交付保险费元,死亡时家属可以从保险公司领取元,求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.解 以表示年死亡的人数依题意,注意到其概率为 .即保险公司亏本的概率几乎为 .8. 假设是独立同分布的随机变量,已知 .证明:当充分大时,随机变量近似服从正态分布.证明:由于独立同分布,则也独立同分布由 有, 因此,根据中心极限定理:即当充分大
4、时,近似服从 .9. 某保险公司多年的统计资料表明:在索赔户中被盗索赔户占,以表示在随机抽查的个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出的概率分布;(2)利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理.求:被盗索赔户不少于户,且不多于户的概率.解 (1),所以 ,(2) .10 . 某厂生产的产品次品率为,为了确保销售,该厂向顾客承诺每盒中有100只以上正品的概率达到95%,问:该厂需要在一盒中装多少只产品?解:设每盒中装只产品,合格品数 ,则所以解得,即每盒至少装117只才能以95%的概率保证一盒内有100只正品。11. 某电站供应一万户用电,设用电高峰时,每户用电的概率为,利用 中心极限定理:(1
5、)计算同时用电户数在户以上的概率?(2)若每户用电瓦,问:电站至少应具有多大发电量,才能以的概率保证供电?解 以表示用电高峰时同时用电的户数(1)依题意,又,于是据 定理:(2) 设电站至少具有瓦发电量,才能的概率保证供电,则因为要:查表得:得即电站具有瓦发电量,才能以的概率保证供电 . (B)1、设随机变量服从参数为的指数分布,相互独立,且都与的分布相同,求当时,依概率收敛的极限 .(答案:)2、设相互独立,且分布相同,存在,则根据独立同分布的中心极限定理,当充分大时,近似服从正态分布,求分布参数. (答案:)3、某生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是一个随机变量,其平均值为50kg,标准
6、差为5kg. 若用最大载重量为5吨的卡车承运,利用中心极限定理说明,每辆车最多可装多少箱才能保证不超载的概率大于?(答案:)习题六1.设是来自 上均匀分布的样本,末知,求样本的联合密度函数解: 2. 设总体服从参数为的泊松分布,其概率分布律为:求:样本的联合分布律为:解: . 3若总体,其中已知,但末知,而为它的一个简单随机样本,指出下列量中哪些是统计量,哪些不是统计量.(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ; (6)解: (1)、(3)、(4)、(6)给出的各统计量,而(2)、(5)给出的量因含有末知参数,所以不是统计量 .4. 总体的一组容量为的样本观测值为:,求经验分布函数.解
7、 :将样本观测值重新排序为:,所以经验分布函数为:5. 来自总体的一组样本观测值为: 求样本均值,样本方差和样本标准差.解:, .6. 在总体中随机抽取一容量为的样本,求样本均值在到之间的概率.解: 由知故所求概率为 .7. 设随机变量与相互独立,且,证明 .证明:由于,则 据分布的定义,.8. 若对总体有,取的容量为的样本,样本均值为,问多大时,有解: 由,知即查表得,即 .9. 设总体,并且,相互独立,现从两总体中分别抽取容量为的样本,样本均值分别为,求 .解: .10. 设总体,都服从正态分布,并且,相互独立,分别是总体和的容量为的样本均值,确定的值,使 .解 由于于是,.即,查表得,取
8、 .11. 设总体,为的一个样本,设,求常数,使分布.解 由于独立同分布所以于是=其中所以即 .12. 设为来自总体的样本,求 .解 设总体为,则由可知,由定理 可知利用分布表,可得 .13. 设是总体的一个样本,若统计量,试确定与 .解 由于独立同分布,所以,且两者相互独立,由分布定义知故 , .14. 设总体 , 是样本,求的分布.解 记,则有,由于则 .下面证明和相互独立.因为,都服从标准正态分布,因此只要证明,互不相关,即即可.由于,因此,.这样.15. 设总体,从二总体中分别抽取样本,得到下列数据: , , ; , ,,求概率 .解 由于故 .从而 .B1. 设有个产品,其中有个次品,进行放回抽样,定义如下:求样本的联合分布.解: 因为是放回抽样,所以独立同分布,.则的联合分布为.2设总体,是样本,证明:.证: 由和得 .使用分布期望和方差的公式,于是, .3.设是来自正态总体的简单随机样本,, .证明统计量服从自由度为的分布.证: 因为为末知,而,.由与的独立性,故由正态总体样本方差的性质知,又由与独立知,与独立,与独立,于是也与独立.从而,由分布随机变量的构造知