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1、直线与双曲线的位置关系教学设计广西武鸣县武鸣高中 数学组 杨翔教学设计的基本理念根据诱思探究学科教学论，改变教师的“满堂教”为学生的“满堂学”，让“教堂”变为“学堂”。在本节课教学中充分安排回忆、尝试、讨论、发言、实物演示，让学生参与到数学知识的探索、发现过程中去，体验知识的形成过程。本着这个原则，结合具体的教学内容，本节教学采用诱思探究式的教学方法。理论探究采用老师创设问题情境，学生自主探究、分组讨论的方法；反馈练习采用学生独立思考，教师讲评的方法。另外，多媒体手段的引入能直观地加深印象，实物投影仪给了交流的平台，提高了教学效益。一、学情分析学生个性活泼，积极性高，思维逐渐由形象思维向抽象思
2、维转化，但形象思维仍占主导地位，同时学生思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力仍有待提高。直线与双曲线的位置关系是在已经对直线与椭圆的位置关系有了初步的认识和了解的基础上而进行的，但不少学生考虑问题往往不够全面，因此在创设问题情境以后，应让学生充分思考、讨论，而不少学生受传统教学的影响，习惯于听老师的分析，自己不主动探索，学习比较被动，往往老师分析的头头是道，学生也频频点头，但时间一长，就都忘了。应充分调动学生的积极性，让学生在老师的引导下，贯穿“体验为红线，思维为主攻”，以诱达思、诱思交融，自主、探究、合作得出结论，实现学生的主体地位，让学生真正成为学习的主人。二、教材分析1.教材背景新教学
3、大纲对“直线与圆锥曲线的位置关系”这部分教材的要求是：掌握其简单应用。主要考查：直线与圆锥曲线公共点个数问题，相交时的弦长，弦中点或相关轨迹问题，三角形面积问题，存在性问题，与向量综合等问题，由于本部分内容一直是高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，所以应给以足够的重视，而用坐标法研究几何问题，是数学中的一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。为此，从解析几何的本质出发，用代数的方法来研究，体现分类讨论的数学思想，又体现数形结合的数学思想，是一节很重要但又有一定深度的课。2.本课的地位和作用本节课主要讲双曲线的几何性质的综合应用,是在学生学习过椭圆几何性质的综合应用的
4、基础上进行的。通过直线与双曲线位置关系的讨论，可使学生对由方程讨论曲线图象性质（即由数到形）的思想方法有更深刻的认识。因此这节课是培养学生数形结合的数学思想和方法研究几何的基本思想和方法以及概括、归纳能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新精神能力都有重要的意义。三、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：直线与双曲线的交点个数的求法难点：对于直线方程与双曲线方程组成方程组消元后的方程性质，学生容易忽略对方程性质的讨论及分类讨论后与图象结合分析的归纳总结。因此，弄清楚直线方程与双曲线方程组成方程组消元后的方程性质的讨论及及分类讨论后与图象结合分析的
5、归纳总结是本节的难点。四、目标分析1.知识与技能 使学生掌握直线与双曲线的位置关系及其判定。2.能力发展通过对直线与双曲线的位置关系的研究，通过对直线与双曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、双曲线的各方面知识的能力。3.德育发展通过对直线与双曲线的位置关系的研究，渗透归纳、推理、判断等方面的能力；培养学生在方程中的方程思想、数学结合思想、分类讨论思想和等价转化思想。使学生体验数字美与图形美的和谐统一；培养学生的严谨的科学研究态度；培养学生的辩证唯物主义观点。五、教法与学法根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，确定以下教法、学法：教法：诱思探究式教学法；学法：根据具体内容进行学法引导
6、。六、教学过程设计（一）复习引入，创设问题情境 前面我们学习了直线与椭圆的位置关系，那么请同学们回答：直线与椭圆的位置关系有几种？想一想如何通过图像来表示？它的理论依据是什么？（简要实录：由于刚学过大家很齐声的回答三种：相离、相交、相切。）请一位同学板演草图，虽不规范但能反映出位置关系。第三问是理论知识，再请一同学回答应为：联立方程组，得到一元二次方程通过判别式（或解的个数）来说明。当判别式大于零（或两个不等的根），相交；当判别式等于零（或两个等根），相切；当判别式小于零（或无根），相离。回答的比较完整。设计意图：通过回忆、总结加强对直线与椭圆位置关系的感性和理性认知，并为学习直线与双曲线的位
7、置关系这节课作下铺垫。 （二）探索研究，体验感悟 问题一：例1、已知直线与双曲线，当实数为何值时，直线与双曲线（1）没有公共点？（简要实录：同学们开始先作图，由于有参数因此从动的观点来结合表达式解题，学生在结合椭圆的有关知识解答。再分组讨论，老师边巡视，边指导。最后把两三组学生的作品用实物投影机展示，并加以点评。） 问题二：已知直线与双曲线，当实数为何值时，直线与双曲线（2）有两个公共点？（简要实录：同学们分组讨论，由于在上面的基础上解决此题，不同的地方就是交点问题，开始讨论，气氛比较热烈，老师巡回指导，对于程度较好的提出结合图象理解，最后把两组学生的作品用实物投影机展示，并加以点评，同学们有
8、了清晰的认识。） 问题三：已知直线与双曲线，当实数为何值时，直线与双曲线（3）有一个公共点？求直线方程并说明它们的位置关系。（简要实录：问题层层深入，让同学们体会知识的联系和区别。同学们开始讨论探索，由于此题涉及的知识点较多，还有分类讨论的数学思想，做起来有一定的难度，老师参与到讨论不积极的小组中，调动他们的积极性，让他们参与到讨论中来，最后将两三个组的作品进行实物投影，查漏补缺，并加以点评。） 设计意图：三个题中前两个类似直线与椭圆的位置关系，但问题三既要考虑直线是否存在，又要对二次项的系数加以讨论。而且位置关系不同于前面的情况，比较特殊。为此通过多媒体演示其位置关系，给以直观的感受，从而使
9、抽象问题直观化，帮助其理解。（三）归纳总结，行成定论 对于直线与双曲线的位置关系小结一下？（简要实录：让学生分组讨论，进行小结，比赛看哪个组总结的最好。学生有了亲身的体验，学生们非常积极，举手回答： 学生1：在联立方程组变为一元的方程后，要对二次项系数加以讨论。 学生2：对于有关直线方程的设的问题，注意对直线是否存在要讨论。 学生3：既要联立方程组，又要考虑直线设法及二次项系数是否为零。学生4：直线与双曲线有一个公共点的情况有两种：一种是直线与双曲线的渐近线平行；另一种是直线与双曲线相切。学生5：与双曲线有一个公共点直线有4条。等等。）在学生积极踊跃的表达自己的成果后，教师做及时的肯定及指导，
10、归纳知识点如下：（多媒体演示）设直线与双曲线联立解得（1） 若即，直线与双曲线渐近线平行或重合。方程为一元一次方程：（I）当m=0时，方程无解。直线与双曲线无交点。此时直线为，直线和渐近线重合。位置关系：相离（II）当时，方程有唯一解。直线与双曲线有唯一公共点。此时直线为 ，直线与渐近线平行。位置关系：相交。（2）若即，有一个交点，直线与双曲线相切。有两个交点，直线与双曲线相交。没交点，直线与双曲线相离。 结论： 有一个公共点： 直线与渐近线平行 直线与双曲线相切 有两个公共点：没有公共点：直线与双曲线相离注意：数形结合，前后呼应。 设计意图：学生的表达都很好，教师通过多媒体演示小结。这使学生
11、的数形结合思想、方程转化思想等到提高，同时加强了学生的分析判断、归纳总结能力。（四）解决问题此过程留给学生独立的空间将解题的框架写出来，老师巡回查看，并将学生的解答过程进行投影，让学生自查自纠，查漏补缺，老师做及时肯定及点评。学生解题展示： 设计意图：将题目由直观感受向抽象的方程转换是学生的一个难题，在经过比较热烈的讨论及分析过后留一定的时间和空间让学生独立完成解答过程，以培养学生表达能力、归纳总结能力。（五）迁移运用（多媒体演示） 1若直线与双曲线有且只有一个交点，则的值为_。（简要实录：有了前面的研究，同学们积极性很高，能顺利地独立解决问题。）教师及时总结：与双曲线只有一个公共点的直线有两
12、种:一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线也有两条。 设计意图：通过该练习让学生加强对一个公共点情况的认识。（六）知识的内化、延伸例1（变式）、直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，点A、B位于双曲线的同一支上？当为何值时，点A、B位于双曲线的两支上？（简要实录：同学们分组讨论，由于在上面的基础上解决此题，不同的地方就是交点位置的问题，开始讨论，气氛比较热烈，老师巡回指导，对于程度较好的提出结合图象理解，最后把两组学生的作品用实物投影机展示，并加以点评，同学们有了清晰的认识。）提示学生：画图像观察并思考点A、B位于双曲线的同一支上与位于双曲线的两支上的有
13、什么共同点和不同点？学生经过小组讨论后归纳总结分析：有两个公共点：在同一支 分别在两支 待学生小组展示后学生自行解题，解题展示： 设计意图：通过变式教学,达到学生对知识的内化与延伸。（七）课堂实战1.已知双曲线，直线过其右焦点，且倾斜角为45，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？（简要实录：有了前面的研究，同学们积极性很高，能顺利地独立解决问题。）学生解题展示： 设计意图：通过知识的逆用，增强学生对知识的理解，加深学生对知识点的记忆。（八）小结反思，系统所学内容1.从代数角度一般如何处理直线与双曲线的位置关系问题？应注意哪几点？2.这节课用到哪些数学思想方法？（简要
14、实录：学生分组讨论，互相补充很快得出结论，摘录如下：学生1：联立方程组，通过根的情况来确定。注意直线的斜率及二次项系数。学生2：分类讨论思想，数形结合思想。这样的话对于数学思想的运用有了深刻的理解。）设计意图：用结构图建构学习内容，便于反思、系统化学习内容。(九)课后作业 必做题：1.已知直线,双曲线，试讨论实数的取值范围。 (1) 直线与双曲线有两个公共点。(2) 直线与双曲线有且只有一个公共点。 (3) 直线与双曲线无个公共点。 选做题：1.若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围。2.直线与抛物线的位置关系如何呢？ 设计意图：学以致用，巩固提高；使不同层次的学生各有收获。(十)教学反思本节课在执教的过程中学生的参与性较强，能够充分发挥学生的主体性；学生掌握知识的过程也是学生探索学习、思考研究、提高能力的过程；打破了传统的“讲授”，变为引导、启发、发现、总结、深化、提高、迁移。变学为思、变学为悟，并锻炼了学生的合作能力，加强合作意识。整节课学生的活动贯穿始终，迁移规律运用在理论探究中起了关键的作用，充分提高了学习的效率，保证知识落实到位。学生的主体地位得到了充分的体现，师为辅，生为主，以体验为红线。存在的问题：在教学过程中调动学生的积极性做得还不够好，问题提得不够自然。还需要用心体会，真正领悟其真理。
