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1、构造函数法在高等数学中的应 用构造辅助函数在高等数学中的应用 摘要：证明等式和不等式是高等数学中的常见问 题，证明方法也多种多样。论文通过几个例子， 从研究题目的条件和结论人手，巧妙构造适当的 辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学 生的创新思维能力。构造辅助函数是数学解题的一个很好的工具，辅 助函数是使问题转化的桥梁，通过恰当的构造辅 助函数可以帮助我们解决很多数学问题，使问题 简单化，构造辅助函数的方法是多种多样的， 有 时需要巧妙的灵活运用，构造辅助函数法还需要 进一步探索和总结如何构造辅助函数是高等数学解题中的难点，看 似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规 律 文章通过详尽的
2、实例讲明了辅助函数在中值 问题不等式恒等式函数求极限讨论方程的根及 计算积分求函数值中的运用关键词：构造辅助函数；中值定理；恒等式与不 等式；在解题过程中，如果用思维定势来探求解题途径比较困难时，我们不妨换一下思维角度，从 问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的 辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证 明。本文通过对高等数学中中值问题、不等式的 证明、恒等式的证明、函数求极限问题、讨论方 程的根及计算积分求函数值这几类问题，应用构 造辅助函数进行求解，从不同题型总结归纳了辅 助函数的思想和具体的方法 一、有关中值定理命题的证明的应用1.1构造辅助函数证明中值存在性问题设/(X)，g(x
3、)在凡”连续，在(0力)可导。而Vxea,Z) 9 g(x)wO 证明至少存在一点(a.b)使/g(4)=g/G)分析：由于所证命题含有导数形式，我们大胆猜 想它积分后的形式。为此我们分下面几步走：(一)将结论化为 r(x)g(x)=g1x)/(x)(二)移项并同时除以g2(x)得： ,)g(-1 R I =。g.(三)求积分，并令之为尸(X)如1嗡嚼嗡则F x就是我们要找的辅助函数。证明由于f x , g x在a,b连续，在a,b可导且f a f b 0则 F x在a,b满足罗尔中值定理，存在 a,b ,使得 F 0即f g 2 g f 0也即f, g g f即为所g证二、在证明不等式中的应
4、用1.2构造辅助函数证明不等式1.2.1 构造辅助函数用单调性证明不等式构造辅助函数的方法灵活多变，不同的知识段有 着不同的技巧和方法，用函数单调性证明不等式 常用的方法有：（1 ）用不等式两边“求差”构 造辅助函数.（2）用不等式两边适当“求商” 构造辅助函数.（3）根据不等式两边结构，构 造“形似”辅助函数.（4）如果不等式中涉及 到骞指函数形式，则可通过取对数将其化为易于 证明的形式，再根据具体情况由以上所列方法构 造辅助函数设x 0,1,证明(1 x)ln2(1 x) x2分析：利用“求差”构造辅助函数 F (x) (1 x) ln2(1 x) x2,再根据F(x)在区间(0,1) 的
5、单调性证明之。证明令 F (x) (1 x)ln2(1 x) x2, 则F(x) In2 (1 x) 2 ln (1 x) 2xF(x) ln (1 x) x 1 xg (x) In (1 x) x 则 g,(x) J 1 - 0x 0,1，所以 g (x)在 1 x 1 xx (0,1)内单调递减)从而 g (x) g (0) 0)F(x) 0；F(x)在 x (。,1)内单调递减)从而 F,(x) F(0) 0)所以F(x)在 x (。,1)内单调递减)F(x) F(0) 0)故 (1 x)ln2(1 x) x21.2.2构造辅助函数用拉格朗日定理证明不等式 对于一些不等式，我们观察它的形
6、式，不难发现， 对不等式进行适当的变形，我们可以构造出辅助 函数F(x), F (x)能够满足拉格朗日中值定理bbaf其中。a b；分析：ln b ln b In a 不等式 b-a In b Ina a (0 a b) a b a b a 0故可将原不等式恒等变形为【叫。观 b b a a察此不等式，我们可以发现中间式子符合拉格朗 日中值公式的形式，故我们可以构造辅助函数F (x) Inx) x a, b证明：令F(x) inx由拉格朗日中值定理条件，可知至少存在一点F(b)-F (a) a,b 使得 F(x)一V F()12工因此有：吟生 b ab ba a1.2.3构造辅助函数用最大值(
7、或最小值)证明 不等式对于某些函数不等式，若F,(x)在a,b内变号时，不 易有函数单调性证明，此时可考虑用最值进行证 明。证明：当x 1时，ex , 1 x(x1)。作辅助函分析：将不等式改写成1 xex 1数f x 1 xex,只要证明f x的最大值为1或小于1即可。证明：令f1 x ex , 贝U f x xex0,x0,x0,000x 1.所以，函数f x的极大值也即最大值为f 0 1)f x 1 x exf 0 1 (x 1)三、在证明恒等式中的应用1.3构造辅助函数证明恒等式证明：当1 x 1时，arcsin x arctan , xV1 x2分析：可将等式arcsin x arc
8、tan . x 2v1 x2xarcsin x arctan-1= 0)1 x引入辅助函数F (x)arcsin x arctan I - 观察等式的右边为常数0-v1 x即要证明此复合函数为常数函数， 的一阶导数为零即可。证明恒等式 步骤是先对F(x)求导)得到F(x) 0,只须证明函数F(x) co 的一般从而说明函数F(x)是一个常数，即F(x) c,然后代入特殊值 心,求出c c0 o证明 /F (x) arcsinx arctan p-x2)贝 1 x211 xF x - 221 x21x21 x21 x2_1_1 x211 x2所以 F(x) c( 1 x 1)。又 F(0) 0,
9、则 c 0,因此 F(x) 0, 即, xarcsin x arctan , J1 x在用辅助函数证明恒等式时，恒等式一般由函数 和常数构成，或者等式两边都是函数，我们可以 把常数或函数式移到一边得到辅助函数，对辅助 函数进行求导，导数为零，再在定义域内取一特 殊值代入辅助函数，值为零即可。也可以分别对 等式两边的函数分别求导，导函数相等，且在定 义域能找到一特殊值，使得函数值相等也可证明 出恒等式1.4 构造辅助函数求极限求 lim nJnnA一 4 、 - - - -1ln x解：作辅助函数f x x，则fx eIn x . In x .1. lim lim 一 lim f x lim e
10、x ex x ex x e 1 xx故 lim 诟 lim f n 1 nn1.5 构造辅助函数讨论方程的根讨论方程根的题目，主要有两类，一类是结合闭 区间上连续函数的零点定理去思考，解方程 F(x) 0,实质上是求函数F(x) 0的零点，关于函数 零点的问题一般是利用连续的性质及微分中值 定理来解决.另一类是在已知函数的基础上论证 导函数方程根的情况，此时就要考虑罗尔定理 了.试证方程。xHTdt cietdt 0有且仅有一个实根 分析引入辅助函数F(x)0xafdt二etdt 0 证明一个方程有且仅有一个实根可转化为证明 函数f(x)有且仅有一个零点，证明需考虑两点， 一是利用零点定理说明
11、函数F(x) 0至少有一个零点，二是利用单调性或反证法说明函数F(x) 0只有一个零点。证明令 F (x) xH t4dt 0 etdt 0 /、0、 I cosxei-U0 i2 1 i2- ； 4上丁巾由 F (0) 1 etdt 0e tdt 0,f(3)0241t dt 0 由支点7E理 可知，F(x)在0,-内至少有一个零点，即方程至少有一个实根。又 F(x) ,1 x4 e 8sxsin x 01)在(，)内单调上升，所以F(x)只有一个零点, 即原方程只有一个实根1.6 构造辅助函数计算积分及求函数值参考文献：高等数学典型例题法与解法上高等数学中的典型问题与解法构造辅助函数在数学分析中的应用浅析构造思想在高等数学的应用构造辅助函数法在高等数学中的应用 卢莲芬辅助函数的应用数学教育学报 刘勇。高等数学中的构造辅助函数 数学教育学报李振延秦宝忠数学分析中辅助函数的构 德州 师专学报廖达凡辅助函数法在不等式问题中的应用高中数学教与学陈国干高等数学中如何构造辅助函数数学教育学报宋振云。陈少元。徐琼霞。微分中值定理证明中辅助函数的构造高师理科学刊宋学军，徐侃。微分中值定理应用中辅助函数的 构造高等函授学报裴礼文。数字分析中的典型问题与方法北京高等教育出版社吉米多维奇。数字分析习题集 山东科学技术出版社
