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1、昆明理工大学理06 工科硕士 数值分析上机实验报告专业：材料学姓名：学号： 2006202044任课教师：作业完成实验室：个人PC实验成绩：理论描述(10)数值公式(10)程序流程图 和程序结构(20)数据和 结果(20)讨论(20)源程序(20)总分 (100)实验内容：1题目/要求三次样条插值法、问题提出设已知数据如下:0.20.40.60.81.00.97986520.91777100.80803480.63860920.3843735求f (x)的三次样条插值函数S(x)。二、要求1、满足自然边界条件S (0.2 )= S G.0 )= 0；2、满足第一类边界条件S(0.2)二 0.2
2、0271，S(1.0)二 1.55741。3、 打印输出用追赶法解出的弯矩向量(M ,M，,M )和014S(0.2 + 0.1i) (i 二 0,1,.,8)的值。* 并画出 y = S(x)的图形 *。2 .作业环境(包括选用的程序语言、运行环境)程序语言 Turbo.C 2.0 运行环境 WINDOWS XP3数学(理论背景)描述某些实际问题，如船体放样与机翼设计，要求插值曲线不仅连续而且处处平滑。甚至要求尽可能采用流线型，使气流沿机翼的表面能形成平滑的流线，以减少空气的阻力。换句话说，所谓光滑插值就是既要分段低次又要保证接头光滑。为适应这类需求，借助曲线板来作图，以保证曲线在接头处的光
3、滑。在工程技术如船体放样中，作图员常用“样条”在指定节点间做光滑曲线。光滑插值就是这类作图方法的数学模拟。因此，这类插值称作样条(Spline)插值。样条插值实际上是一种改进的分段插值，它要求插值函数在各分段 的衔接处能保持一定程度的光滑性。既要保持插值函数的导数的连续性。 在实际应用中，最常用的是三次样条插值，其定义如下：若函数S(x)e C2la,b,且在每个小区间L ,x 上是三次多项式，其j j+i中a = x x x = b是给定节点，则称S(x)是节点x ,x，,x上的0 1 n 0 1 n三次样条函数。若在节点x上给定函数值y二f (x Ij = 0,1,n)，并成jjj立S(x
4、 )= y (j = 0,1,n)，则称S(x)为三次样条插值函数。jj4数值计算公式三次样条函数分段插值公式S(x)=(x -x-xi6hi-16hM +(h 2xx(h 2 )y+Mi+y亠Mii1k6 .-1 丿hii k6 1丿ix-4-1(1)S f(x )=(x - x )2i2hi-12h-M)+(2)i-1S ff(x )=x-i(3)，i-1其中2M +a M(1a )M + 2M +a M=P101 1 21(1a)M+ 2 M+ aMn1n2n1n 1naM+ 2 M=卩i01n-1nnn=P 0=Pn-1i+1(5)(4)-xj+1ty. 1i+1y,h(6)i+15算
5、法程序流程图I利用(5) (6)计算系数a ,B , i = 1,2, ,n 1i iI用追赶法解方程组(4)得M , M，,M01n判定插值点x所在的分段(x, x )i1iI按公式(1) (2)和(3)计算所求函数值S (x)及其一阶二阶数值导数S r(x)S)打印 S (x ) S f(x )S ff(x )I6程序结构（程序中的函数调用关系图）7实验数据和实验结果（打印或用屏幕图形拷屏表示，可加为附页）x(i)2.00000e-014.00000e-016.00000e-018.00000e-011.00000e+00t(i)2.00000e-013.00000e-014.00000e
6、-015.00000e-016.00000e-017.00000e-018.00000e-019.00000e-011.00000e+00y(i)9.79865e-019.17771e-018.08035e-016.38609e-013.84373e-01z(i)9.79865e-019.68558e-019.17771e-018.59047e-018.08035e-017.59253e-016.38609e-014.25808e-013.84373e-01dy(i)2.02710e-01 -5.86877e-01 -4.32658e-01 -1.86992e+001.55741e+00dz(
7、i)2.02710e-01 -3.69665e-01 -5.86877e-01 -5.68138e-01 -4.32658e-01 -6.95048e-01 -1.86992e+00 -1.82864e+001.55741e+00ddy(i)-7.49956e+00-3.96310e-011.93850e+00-1.63111e+015.05844e+01ddz(i)-7.49956e+00-3.94793e+00-3.96310e-017.71095e-011.93850e+00 -7.18630e+00 -1.63111e+011.71366e+015.05844e+01Program E
8、xited Successfully!8讨论（包括题目要求的讨论和方法的适用性讨论）凡是用插值方法解决的问题，只要遇到高次插值都可以用三次样条插值 来降低次数，达到增强精确度加强实用性的目的。在插值中，拉格朗日给出了插值曲线的函数表达式。但是，当插值结点 增多时，得到的插值曲线是高次的。这不仅增大了计算量，还影响结果的精确 度。所以这种高次插值曲线不适合于实际应用。通常用分段的低次插值方法也能降低插值曲线的次数，使问题简化。但 是分段插值的缺点是，各个分段衔接的连接点处不能保证曲线的光滑性。三次样条插值正是用来改变这种状况的一种改进的分段低次插值法，它保证了连接点的光滑性，即三次样条插值函数的
9、导数连续。某些实际问题，如船体放样与机翼设计，要求插值曲线不仅连续而且处 处光滑。甚至要求尽可能采用流线型，使气体沿机翼的表面能形成平滑的流线， 以减少空气的阻力。这本身就要求光滑插值，也就是既要分段低次又要保证接 头光滑。三次样条插值函数正是适应于这类需求。因为它来源于这种作图的数学 模型：使用曲线板作图，以保证曲线在接头处的光滑。工程技术如船体放样中， 作图员常用“样条”在指定结点间作光滑曲线。光滑插值就是这类作图方法的 数学模型。因之，这类插值才被称为样条插值。样条插值实际上是一种改进的分段插值，降低次数，提高精度，减少计 算量，因此扩大了使用范围。9附源程序（打包邮件）评分标准 报告格式规范，文字清晰正确描述和理解需要操作的问题程序及运行结果的正确性结果分析和方法讨论的正确性
