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1、专题 3 平衡问题探骊文/沈 晨教你一手物体平衡的种类依稍微偏离平衡位置后是否能在原位置保持平衡而分为稳定平衡与 不稳定平衡，能在随机位置保持平衡的则称随遇平衡控制物体的不同平衡态势，增大物 体平衡的稳度是有趣又有实际意义的事怎样甄别物体平衡的种类呢?以处于重力场的物体在重力和支持力作用下的平衡为 例，一般操作步骤是：1. 设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍偏离原平衡位置；2. 从能量角度考察受扰动后物体质心位置的高度变化，根据质心是升高、降低还是 不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；或从受力角度考察受扰动后 重力作用点的侧移量，即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断
2、物体原来的平衡态属于哪 一种.这里，仅是问题切入的视角不同，但殊途同归，结论是一致的，故可依问题的具体 情况，择简而从；3. 为比较扰动前后物体的受力与态势，要做出直观明晰的图示；由于对微扰元过程 作的是“低细节”的描述，故常需运用合理的近似这一数学处理手段.例1如图3-1所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为a、b，且长轴的 长度为1,蛋圆的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立.求蛋尖的一端可以在一个半球 形的碗内稳定地直立时，碗的半径需满足的条件.图 3-1分析与解 因蛋圆一端在水平面上可处于稳定平衡态，可知蛋的质心位置C应在图3- 1中A点之下，设其距蛋尖顶点为R,则R1a .现将蛋
3、尖端直立于半径为r的球形 碗底M点处，如图3-2中实线所示，设想当蛋尖外缘沿碗偏转过一小段弧长届，则蛋在 图3-2中虚线所示位置.该图中，C为蛋的质心，偏转后的质心位置在C, 0为碗球心, a、B分别是弧长伽所对蛋尖圆和碗球的圆心角，即附=吓=ba，其他几何关系 如图所示.解法一考察质心位置高低变化要满足蛋尖端在球形碗内有稳定平衡，应证明图3-2中的C位置高于C位置，即需 满足C/M/cos(a -p )+NM(a -p / 2)CM,在微扰的情况下，a、p都是小量，故有如下很好的近似Rcos(a P ) +r p (a P / 2)R,即 r p (a P / 2)Rl cos(a P )=
4、2Rsin2(a P / 2 ).利用小角度的情况下，sina a， sinp p，且注意到r p =ba，则有r p (a p / 2 ) 2R( (a p )/2)2，整理得 rV(bR/Rb).由题给条件知Rla，故有rV(bR/Rb) = (b/l(b/R)V(b/l(b / la) = b(la) /( la b).这就是说，碗的球半径尺寸不能太大，应满足条件为rVb (la)/(la b). 解法二 考察质心位置侧移量欲满足蛋保持稳定平衡的条件，重力对支持点N的力矩应可使蛋返回原处，故应有 CM，sin(a p )VMN,即R (a p )Vr p .将Rla,rp =ba代入上式
5、整理即得 rV(b(la) / l a b).例2 如图3-3所示，杆长l =a + b，质心在C点，杆的A.B两端分别支于互相 垂直的两个光滑斜面上而处于平衡试问在图示位置时，此杆的平衡是稳定平衡、随遇平 衡还是不稳定平衡?并证明之图 3-3分析与解 杆AB受两斜面支持力及重力这三个不共点的力作用，我们常称之为“三 力杆”.非平行力作用下的“三力杆”要处于平衡，三力作用线必汇交，在图3-3中，三 力交汇点0与杆AB的质心C连线是竖直的.我们来研究一下杆平衡时的几何位置有什么 特点：设右斜面与水平成a角，杆与右斜面成Q 0角，在图3-3的ABOC中，根据正 弦定理有(b /sina ) = (
6、 (a + b) sin 0/sin(Q 0+9Oa )，由此式求得杆平衡 时与右斜面夹角满足t an 0=(bcosa / a sina ).下面来证明这根“偏心杆”在此 位置的平衡是不稳定平衡.证法一 考察质心位置高低.如图3-4所示，当杆与斜面夹角为时，质心C的高 度以y表示，则y=(a + b)cos sina bsin(a )= asina cos a +bcos a sin f 2 - _2 rri2 -=cos arctan( b cosa / a sina ).即y=总如总+&匚恥13 cos( ),显见，当 = 0时，杆质心C的/ 2 -_2 . ,22高度有最大值y=，杆的
7、位置稍有偏离，质心高度就降低，故属于不稳定平衡.图 3-4证法二 考察质心对杆的瞬时转动中心的侧移量.如图3-5所示，当杆的两端沿斜面移动时，整根杆的转动中心也在变化.(p 0时, O为杆的瞬时转动中心，重力作用线过0点，力矩为零；当杆转过一小角度，p =p i时, 转动中心变成0，质心位置为C,比较0和C在x轴上投影坐标X与X之大小， 从而确定重力对0的力矩对杆的作用效果.图 3-5由图3-5所示关系得x=(a + b)cos(p +a )；x=a cos p cosa bsin p sina ，贝 Ix x=bcosp cosa asinp sina1 1J 2 - 2 rri2 -=si
8、n(p p ).01因p p 0,故有X小于X，即重力将对瞬时转动中心0构成一负力矩，使杆继 续顺时针转动而远离原平衡位置，可见，杆在两光滑斜面间如图3-3所示位置的平衡是不 稳定平衡.各种处于稳定平衡状态的物体，其稳定程度不同；处于不稳定平衡状态的物体，也可 以通过改变平衡条件使之达到稳定平衡状态，如问题1 中的那个熟鸡蛋，以蛋尖端直立于 水平面时是不稳定平衡，但置于尺寸合适的球形碗内就可以达到稳定平衡.在生产、生活 中有许多实际问题，需要控制物体的平衡条件，提高物体的稳度，我们来例析一二.例3如图3-6所示，课桌面与水平面夹角成a，在桌面上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向
9、下滑动.试求：(1)在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数M . (2)铅笔的轴与斜面母线(斜面与水平面的交线)应成多大的角度p放置？分析与解根据日常我们学习生活的经验，我们在倾斜桌面上放一枝六棱柱形铅笔， 当笔杆垂直于斜面母线时，最不易滚下来而会先发生滑动事实上，当放置在斜面上的铅 笔恰能处于平衡时，必有mgsina = f=p mgcos a，式中f为最大静摩擦力， m为铅笔质量.则M =t ana，即静摩擦因数恰等于斜面倾角的正切值.若p ta na，放置在斜面上的笔无论以怎样的0角放置，总不会因发生滑动而破坏平衡.但是，还有一个向下滚动的问题存在.就“稳度”而言，当0角为某一临界值0 0 时
10、，重力作用线超出斜面对铅笔的支持面，则铅笔会在重力矩作用下离开原平衡位置而滚 下来.现在来求这个 0 0角.如图3-7所示，阴影部分表示笔与桌接触面，正六边形表示笔的横截面，C为铅笔的 质心，它在斜面上的投影为0,重力作用线从接触面A “擦边而过”.由图示几何关系可 知：OC=asin60,a 为正六边形边长，OB=(a/2),ZACO=a，ZB OA=o 0(注意：OA垂直于母线，0B垂直于棱线)，在临界状态下(OB/coso 0)= ctana，故 0 0=arccos (1/历)cta .图 37只要重力作用线落在阴影区内，即有(a/2coso )2asin60 tana ，COSQ W
11、(l/g)c ota笔就不会滚动，故放置笔时，应使铅笔的轴与斜面母线所成的角Q arccos (1 /启)cot a .例4如图3-8所示，建造屋顶边缘时，用长度为L的长方形砖块，一块压着下面一 块并伸出砖长的(1/8)，如果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒?这样 的几层砖最多可使屋檐“飞”出多长?分析与解 一块砖的重心就在(L/2)处，叠放一块砖后，由于伸出(L/8),两砖总 长(9/8)L，共同重心在总长的一半处.设有n块相同砖叠放，每块均伸出(L/8)，则 总长为L+(n1) (L/8)，而总重心在总长度的中间.要使飞檐平衡，n块砖所受 总重力作用线不能超出墙壁的支面，即
12、(L/2) L+(n1) (L/8)W(7/8) L，故 nW7.图 3-9如图3-9所示，最上面第1块砖要处于平衡而不翻倒，它的重力作用线不能超出其下 第2块砖的边线，所以第1块砖能伸出的最大长度为(L/2)；第1块砖和第2块砖合在 一起总长度为(3L/2),重心在中间，即距第2块砖边线(L/4),第2块砖放在第3块 砖上时最多伸出(L/4).现在来看三块砖的重心位置：设三块砖重心C3距第3块砖边缘 x,由力矩平衡关系知2Gx=G(L/2)x)，解得x=(L/6),所以第3块砖只 能比下一块砖边线伸出(L/6)，不难递推，第n块砖伸出量的通式是xn=L/(2n),那 么七块砖均以最大量伸出，
13、“七级飞檐”最多能飞出的长度为s=(l+(l/2) + (l/3) + +(1/7) (L/2).小试身手1. 如图3-1 0所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴0转动，它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下，线框开始转动，最后静止的平面位置是图中的()RB E _ 的 B 2?BCD图 3-102. 图3-11中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线连接起来，问每一种情况各属 哪种平衡?3. 如图3-12所示装置，它是由一个长L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下 垂的、长为1的细木杆，以及在木杆的末端装有质量同为m的小球而组成.木钉及木杆的 质量可忽略，木杆与木钉间夹角为a，此装置放在硬质木柱
14、上，则1、L、a间应当满 足关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置能以0点为支点摆动而不致倾倒.4 .如图3-13所示，长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另一端靠 在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的 横截线的函数表达式y (x)(杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内).5 .如图3-1 4所示，两个质量分别为巴和込的小环能沿着一光滑的轻绳滑动.绳 的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度0 .在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并 使mi.m2在其两边.设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与轻环两边的绳6 .根质量为m的均匀杆，长为L
15、，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴转动， 如图 3-15所示.有两根水平弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧 的劲度系数k为何值时才能使杆处于稳定平衡？7. 如图3-16所示，一块厚d的木板位于半径为R的圆柱上，板的重心刚好在圆柱 的轴上方.板与圆柱的摩擦因数为P .试求板可以处于稳定平衡状态的条件.图 3-17图 3-168. 用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为R的球冠围成的外形，像一粒豆子， 如图3- 1 7所示.浮子的厚度hV2R，质量为卑.沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条， 穿过整个厚度.辐条长lh,质量为m.当将浮子辐条向上地浸于水中时，浮子只有少2部分没于水中.浮子的状态是稳定的吗?9 .如图3-18所示，儿童玩具不倒翁高h=21cm，质量m =300 g，相对轴KD对 称分布.不倒翁的下部是半径R=6cm的半球面，如果不倒翁放在与水平面成角度a = 3 0的粗糙面上，当它的轴KD与竖直方向倾角B = 45，则处于稳定平衡状态.
