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1、高考数学最新资料第3讲简单的线性规划问题基础巩固1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为()A.(-24,7)B.(-7,24)C.(-,-7)(24,+)D.(-,-24)(7,+)答案:B解析:根据题意知(-9+2-a)(12+12-a)0,即(a+7)(a-24)0,解得-7a24.2.不等式(x-2y+1)(x+y-3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()答案:C解析:(x-2y+1)(x+y-3)0结合图形可知选C.3.满足条件的可行域中共有整点的个数为()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:画出可行域,由可行域知有4个
2、整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).4.若实数x,y满足不等式组则x+y的最小值是()A.B.3C.4D.6来源:答案:B解析:题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,令z=x+y,则y=-x+z,平移直线y=-x,易得当平移后的直线经过点A(2,1)(该点是直线x+2y-4=0与2x-y-3=0的交点)时,z取得最小值,最小值是2+1=3,因此选B.5.已知x,y满足则使目标函数z=4x+y-10取得最小值的最优解有()A.1个B.2个C.3个D.无数多个答案:D解析:画出可行域如图阴影部分所示,作直线l0:4x+y=0.由z=4x+y-10,得y=-4
3、x+z+10,所以求z的最小值,即求直线y=-4x+z+10在y轴上截距的最小值,因为将l0向右上方平移到与4x+y-4=0重合时z最小,故最优解有无数多个,故选D.6.在不等式组确定的平面区域中,若z=x+2y的最大值为3,则a的值是()A.1B.2C.3D.4答案:A解析:作出可行域如图阴影部分所示,是一个三角形区域,而由图可知,目标函数z=x+2y在点A(a,a)处取得最大值,故a+2a=3,解得a=1.来源:7.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是()A.B.来源:C.-1,6D.答案:A解析:作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,作直线3x-y=0,并向左
4、上、右下平移.由图可得,当直线过点A时,z=3x-y取最大值;当直线过点B时,z=3x-y取最小值.由解得A(2,0);由解得B.zmax=32-0=6,zmin=3-3=-.z=3x-y的取值范围是.8.(2013“江南十校”联考)已知x,y满足则x2+y2的最大值为.答案:25解析:作出如图阴影部分所示的可行域.x2+y2表示可行域内的点到原点的距离的平方,易知x2+y2在点A(-3,-4)处取得最大值,且最大值为(-3)2+(-4)2=25.9.不等式组所确定的平面区域记为D.点(x,y)是区域D内的点,若圆O:x2+y2=r2上的所有点都在区域D内,则圆O的面积的最大值是.答案:解析:
5、画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中离原点最近的距离为,故r的最大值为,所以圆O的面积的最大值是.10.由约束条件所确定的平面区域的面积S=f(t),试求f(t)的表达式.解:由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP,如图中阴影部分所示,其面积S=f(t)=SOPD-SAOB-SECD,而SOPD=12=1,SOAB=t2,SECD=(1-t)2,来源:数理化网所以S=f(t)=1-t2-(1-t)2=-t2+t+.来源:11.已知变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.解:由约束条件作出可行域如图阴影部分所示.由解得A.由解得C(
6、1,1).由解得B(5,2).(1)z=,z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zmin=kOB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.故2z29.12.已知x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.解:(1)由约束条件所确定的平面区域如图阴影部分所示.可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线x-y=0,当直线过点A(3,4)时,z取最小值-2,过点C(1,
7、0)时,z取最大值1.故z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1-2,即-4a2.拓展延伸13.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?解:方法一:
8、设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足由约束条件作出的可行域如图阴影部分所示.z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是zA=2.59+40=22.5,zB=2.54+43=22,zC=2.52+45=25,zD=2.50+48=32.比较可知,zB最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.方法二:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足由约束条件作出的可行域如图阴影部分所示.让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.因此,应该为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.
