《4.3协方差和相关系数及矩1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4.3协方差和相关系数及矩1（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节协方差、相关系数及矩一、协方差及其性质二、相关系数及其性质三、矩前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差， 数学期望反映了随机变量在概率意义下的平均值, 方差则反映了随机变量相对于其均值的离散程度， 这对我们了解随机变量有一定的帮助，但对于二维 随机变量XV,我们除了关心X,啲期望和方差外， 还希望知道他们的关系,在反映分量之间关系的数字特征中，最重要的就是本讲要讨论的协方差和相关系数在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。 在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于 父亲的身高和其成年儿子身高的关系.这里有两个变量：一个是父亲的身高，一个是成 年儿子身高为了研究二者关系英国统计学家皮尔逊
2、收集了 1078个父亲及其成年儿子身高的数据，画出了 一张散点图.从图上看出:父亲及其成年儿子身高有关系，但没有明确的函数关系.类似的问题有：受教育程度和收入有什么关系?高考入学分数和大学学习成绩有什么关系?为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题,需要给出度量两变量的相互关系的指标.EX-E(X)Y-E(Y) = E (XY) E (X) E (Y) 若 X, Y相互独立，则 EX-E(X) (Y-E(Y) =0 若 X, Y不相互独立，则EX-E(X)1 Y-E(Y) 不一定等于零于是EXE(X)YE(Y)在一定程度上反映了 X与Y的关系，称之为X与Y的协方差一协方差的定义1、定义：若ex-
3、e( x川yE(y)存在，称E(X-E(X)Y-E(Y)为随机变的协方差.记做Cov(XfY) 即 Cov ( Xr)=X-( X 川F-川 Y ) D(X) = E(X-EX)2=E(X-EXXX-EX) /(X) = E(X-Ey)2 = E(y-T)(k -EV) 大家由此体会协方差Covariance的由来cov( xr)=Ex-( x)(y-( y)说明(1) . D(X)= cov(XtX )；(2) . D(XY)=D(XHD(Y)2Cov(Xt Y)D(X+Y) = E(X+Y)E(X+Y)F=D(X)+D(Y) + 2EX-E(X )Y-E(Y)二.协方差的性质1. Cov(
4、 X,Y ) = Cov( Y,X )；2. Cov( aX, bY )= ab Cov( X, Y ), a, b是常数；3 Cov( X1+X2 , Y ) = Cov( XPY )+Cov( X2, Y ).证2)Cov(aXfbY) = EaX-aE(X)bY-bE) 二於咼X-E(QF-E(y)=abCovXtYY问题:Cov(X, C)=?三.计算公式：Cov(XfY)=E(XY) -E(X)E(Y)证明：由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(XE X-E(X)y-E(y)n=E(XY)-E(X)E( Y)E( Y)E(X)+E(X)E( Y)=E(XYyE(X)E(Y)即cov
5、x, y)=E(xv)-Eg e四方差与协方差的关系D(M=。(力+(力+ 2Cov(Xt Y)兀)=D(X#) + 2Cov t M心常用上式计算相依随机变量和的方差.若X泌2，儿两两独立,，上式化为1=1i=!思考题 Y=5X+6D(X)=3 Cov(X,Y)=?Cov(X,Y)=Cov(X,5X+6)=5Cov(X,X)=15Ml(X力在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布/(“)弋x2+/ 1;其它.求 Cov (X, Y)解因E(X) =4二 Vx (x)!)相互独立同分布，且其方差为0 ，令计算协方差 cbF(xby)解 因兀乙相互独立，故CM心禺)= E(&)-E*)E(XJ =6
6、 (心 23皿)CMA1,F)=-r(X1，i；XJ)nm显(:“住“+丄乞皿厲必矢丄2)*)=工.nn Mnn协方差的大小在一定程度上反映了才和卩相互 间的关系，但它还受才与卩本身度量单位的影响 例如：CovlkX, kXQCoXX, *为了克服这一缺点，对协方差进行标准化：Cov(X.Y) EX-E(X)Y-E(Y) yD(X)D(Y) - yb(X)D(Y)这就引入了相关系数相关系数及其性质定义： 设 DU ) 0, P(K)0,称Cov(X.Y)PxY y/D(X)D(Y)为随机变量才和卩的相关系数 在不致引起混淆时，记Px、为PM3已知二维随机变量（*）的联合分布列为-201-10.
7、 300. 120. 1810.100. 180. 12求:Cov(XtY) , P解X边缘分布律为卩 r T 1、-2010 60 0.40 0.40 0.30 0.307E(X) = -lx 0 60+1x0.40 = -0.20E(Y) = -2x0 40+ 0x0.30 + 1x0.30 = -0 50-201-10. 300. 120. 1810. 100. 180. 12E(XY) =-lx (-2) x0.30 + (-1) x0x0.12 +(-l) xl x0.18+lx(-2)x0.01+lx0x0.18+1x1x0.12 = 0.24X与丫的协方差为：Qa (X, F)
8、= E( AT) - E(X) E(Y= 0.34-(-0.20) x(-0.50) = 0 24F面求x,y的方差：E(X2) = (-1)2 x 0 60+12 x040 = 1 00Eg2)=(_2)2 x040 + 02x0.30 + 12x0.30 = 1 90rw = (uT2)-(X)2 =1 00-(-0.20)2 = 0.96z)(y)-(y2M(x)2 -1.90 -( 0.5)2 一 1.65X与丫的相互关系数为:cCov(X9Y)(浙冋)=0 24= 0.19Vo 96x1 65考虑用X的线性函数B+bX近似的表示Ye = E(y-(a+bX)2= E(Y2)b2E(X
9、2)+a2-2bE(XY)2abE(X)-2aE(Y)为使e取得最小值,nJ.= 2 + 2*E(X)-2E(r)= 0 da- = 2bE(X2)-2E(XY)2iiE(X) = 0 offCov(X.Y)D(X)a. = E(Y)-E(X)Cov(x,y)D(X)将如,代入得miny-（o +bX ）2 = EY 一（兔 +X）F =（1 - x4）D（y）定理 1 pxr M 12 pXY匚1的充要条件是存在常数a, b,使PY=a+bX = l即才和F以概率1线性相关.定理 若随机变量才与卩相互独立，则才与卩不相 关，即有Pxy=此定理的逆定理不成立，即由p打=0不能得 到才与r相互独
10、立.（见下面的例题）但是，对于二维正态分布，则有（XY） N S|,（7 2； “2, *2； ）则X.Y相互独立=0例4设X服从(l/2,1/2)内的均匀分布，而V=cos X,cov( X 9 y) = cov( X, cos X)= E(X cosX) E(X)E(cosX)1=J2f xcosx.ledr-0 = 0 Cov(X,r)=02因而P二0,即才和y不相关但卩与才有严格的函数关系，即才和F不独立例题5“21 12EX=0 E(XY)=010 % % 04%001/4Cov(X,Y)=0 Ar = X,Y具有明显的函数关系只是没有线性关系相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程
11、度的数字特征.定义设随机变量乂1) P 旷1,2) P3) pY的相关系数存在， 称X、F正相关;称X,负相关：称X、F不相关.注卩府=0仅说明无F之间没有线性关系，但 可以有其他非线性关系.例7、妙 (1,3)丫(0,4汎(1)求E (Z)和D (Z)所以 D (Z) =3四.矩定义 设X为随机变量，若E(Xk) +x,称 yk= E(Xk) El,23.为X的k阶原点矩.定义设X为随机变量，若EIX-E(X)I件 2,称 “产 EX-E(X)kRl,2,3.为X的R阶中心矩.称 |$A =EIX-E(X)rj *=1,23.为X 的k阶绝对中心矩.定义设维随机变量(兀禺，心)的协 方差 Cjj = cov( Xj Xj )均存在，称矩阵C = (c.)为(兀 心，X) 的协方差矩阵.其中 cov（ xr）=Flx-E（x）y-E（y）D（X）= cov（X,X）三、协方差矩阵的性质D cn - D(XJ, i = 12,.,?;2c =jn3) C是非负定矩阵；对称阵4) cch=0M1O设随机变量X, Y的协方差矩阵为 c= t求X,Y的相关系数&、作业 pll4 3, 4P1181, 3 4，6Q 0
