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1、设计数学挑战性问题的几点体会于都县教研室 曾祥品何谓“挑战”？汉语词典有三种解释：激怒敌人出来打仗；刺激对方出来和自己较量；鼓励对方和自己竞赛。数学课程标准认为：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”如果我们从数学教学的角度来理解的话，所谓“挑战”就是要能激励学生主动地进行数学活动。那么“挑战性”问题，就是能激励学生主动地进行数学活动的问题。美国数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏。”学生的数学意识、实践能力和创新精神，是在经历提出问题、理解问题和解决问题中形成与发展的。可见，一个好的、特别是富
2、有挑战性的问题，对学生展开探究过程、理解掌握知识、形成个性品质、培养创新能力等方面都具有非常重要的意义。目前，小学数学课本中的习题或问题，大致可以分为“常规问题”和为学有余力的学生提供的思考题。其中绝大部分是“常规问题”，即这类习题或问题是教师已经在课堂上提供了典范解法，而学生只不过是应用这种典范解法去解答一系列类似的“问题”。正因为如此，华东师大数学教授张奠宙指出：“数学课本中为日常训练技巧等设计的习题不是真正的问题，而真正的问题应适合于学习发现和探究的技巧，适合于进行数学的原始发现以及学习如何学。”综上可知，一方面，问题在数学教学中居核心地位；另一方面，学生日常解答的数学习题几乎都不是“真
3、正的”问题。如此这般，何以达成数学课程目标！显然，如何使数学习题改造成为“真正的”数学问题，也就是我们广大数学教师必须认真思考的问题。下面，笔者就一般的数学习题改造设计为数学挑战性问题，谈几点粗浅体会，并请教于同行。一、从应用的角度设计例1：百货商店卖出4箱文具盒，每箱20个，一共卖了960元，每个文具盒的价钱是多少元？这是两步计算的连除应用题，事件虽说是实际应用问题，但解答过程无需“动态”的思考，缺泛挑战性，应用性也不强。可把它改造为：张阿姨要新开一家文具商店，从外地买入4箱文具盒，每箱20个，一共用去960元。这些文具盒卖出时，你认为每个应卖多少元比较合适，为什么？解答这道题不是连除算出得
4、数就了事，而必须联系商品买卖交易的过程。如果从赢利来思考，卖出的单价应高于买入的，并还应考虑价格差的大小；如果从商店新开张要先吸引顾客来思考，可以就买入的价格甚至低于买入的价格卖出。例2：两地相距1200米，小东和小英同时从两地出发，相对走来。小东每分钟走50米，小英每分钟走30米。经过几分钟两人相遇？相遇问题的特征过于明显，容易使学生套用解题模式，可把它改造为：小东住山上，小英住山下，连通两家的一条小路长1200米。小东下山每分钟走50米，小英上山每分钟走30米。星期天，两人在家互通电话，商定立即交换课外书。两人怎样才能更快拿到对方的课外书？从两人放下电话算起，拿到对方课外书的时间最少是多少
5、分钟？（只考虑步行的情况）小英上山的速度比小东下山慢，所以应该让小东带着课外书下山更快，但最快还是两人同时出发相对走来。这就是相遇问题在实际生活中的运用。二、从开放的角度设计例3：小东住在学校的东边，离学校3千米。小英住在学校的西边，离学校7千米。小东家离小英家多少千米？如果弱化条件，去掉学校在小东和小英家之间，题目可改为：小东家、小英家和学校都同在一条直道旁边。小东家离学校3千米，小英家离学校7千米。小东家离小英家多少千米？如果进一步弱化条件，去掉小东家、小英家和学校在一条直线上，题目还可改成：小东家离学校3千米，小英家离学校7千米。小东家离小英家多少千米？通过这样的改造，一年级一步计算的加
6、法应用题就变成了一道可能要利用解析几何、微积分才能解决的问题，可见把“常规问题”改成开放性问题，解题极具挑战性。例4：给直径0.95米的水缸做一个木盖，木盖的直径比缸口直径大5厘米。木盖的面积是多少平方米？去掉木盖为圆形这个条件，题目可设计为：学校为了方便食堂用水，买回一个直径0.95米（含边沿）的大水缸。现在要给这个水缸配上一个木盖，请你出出注意：木盖应做成什么形状的（并说明有关长度），它的面积是多少？这道题的开放度较大，就木盖的形状而言，可以是圆形的，也可以是正方形或长方形的，要是把水缸放在房角，木盖还可以是等腰直角三角形；就木盖的面积而言，设计的形状不同面积也不同，就是形状相同，由于各人
7、选取的有关数据不同面积也会不同。三、从操作的角度设计例5：把9块饼平均分给8个同学，每人分得几块？对高年级的学生来说，解答这种题目不费吹灰之力，哪里还有什么“问题”可言。因此，可从操作的角度改造上题，让学生动手分一分。比如：有9块饼（如下图），要平均分给包括小明在内的8个同学，怎样分呢？请你用画线的方法在图上分一分；把分给小明的那些饼涂黑；对照你的分法，算一算小明分得多少块？让学生动手画一画、分一分，其思考程度远远大于只列一道“98”这样的算式。并且就此题来说，分的方法不同，计算的方法也不同。比如，可以把每块饼平均分成8份，小明每块里面分得，共分得91（块）；也可以先把4块饼每块平均分成两份，
8、小明分得一块里面的，剩下的5块每块平均分成8份，小明分得每块里面的，共分得51 (块）。例6：量一量，下面图（1）圆的直径是多少？ （1） （2）这道操作题学生根据“两端都在圆上的线段，直径是最长的一条”，加上正确使用直尺度量就能解决问题。如果从动手画圆来考虑，可把它改造为：小明看见黑板上有一个残缺的圆（上图2），想把它补完整，可又不知怎样动手，你能帮他把这个圆画完整吗？这样一改造，不但要确定直径，还要确定圆心，最后还要用圆规画圆，几乎综合了圆的特征和圆的画法的全部知识点。四、从探索的角度设计例7：一块长方形铁皮，长60厘米，宽40厘米。像下图那样从四个角切掉边长为5厘米的正方形，然后做成盒子
9、。这个盒子的容积有多少毫升？四个角切掉的边长是多少时，做成盒子的容积会更大呢？这样的探究学生完全可以通过“猜测验证”来完成。所以可把题目设计为：如果在长方形铁皮的四个角上各切掉一个正方形，就可以把这块铁皮做成一个无盖的长方体盒子（如下图）。 先切掉四个角上的正方形，再沿虚线往上折，然后电捍接缝。 王师傅现有一块长60厘米，宽40厘米的铁皮，想做成一个容积尽可能大一些的盒子，请你按上面介绍的方法为王师傅搞出一个设计来：铁皮四个角上切掉的小正方形的边长是多少厘米？这样做成的盒子容积是多少毫升？例8：计算改造为：用、四个分数和、三个运算符号，可以组成如 “”等算式。请你也用这些分数和运算符号组成一个
10、算式，并使得数比上面算式的得数大。你能找出得数最大的算式吗？改造后的题目从知识来看，综合运用了分数大小的比较、四则计算的意义以及积、商、差变化的一些性质；从方法来看，必须先估计猜测，再计算对比验证，使学生有了探索的空间。五、从表述的角度设计例9：右图是有哪些图形组成的？数学课程标准强调数学交流的重要，在简单几何知识的学习中，要求学生能描述图形的相互位置关系。就此，可把上题设计为：小明画了一个漂亮的图案（如上图），他想打电话将这个图的形状告诉同学，你能帮助小明描述这一形状吗？当然，把“常规问题”改造成为“挑战性问题”，方法是多种多样的。但有一点必须注意，改造后的问题不能是偏题、怪题，而只能是一种不太难但又有琢磨味的题目，只能更有利于学生的动手实践、自主探索与合作交流。
