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1、定义法求二面角大小的方法探究 梧州高中 陈亮一问题的提出 二面角是高中立体几何中三类空间角中难度最大的一类，它也是历年高考中的一个重要考点.由于呈现出这一考点的几何情景和几何模型千姿百态，尤其是当对应二面角的两个半平面均不在水平位置或当二面角的平面角为钝角时，学生把握起来较为困难.难点突出表现为：一、视角识别困难。立体几何图形的视角不同，字母排列顺序不同，会造成视角障碍，牵制学生的思维，立体几何的大题往往设置二至三个小题，二面角的考察一般放在第二或第三个小题，在考场时间有限的情况下，当解决好前面的一至二小问后，所给的立体几何图形已经被标示得“体无完肤“，这个时候，迅速识别所给二面角的两个半平面
2、，并将注意力集中于此是相当必要的。二、高考中二面角的大小的求解方法多种多样。由于方法太多，学生很难将图形与平时所学知识联系起来，往往会走很多冤枉路，不能做到一击必中。由于以上的两个“拦路虎”的存在，学生有必要掌握具有针对性的解题分析步骤。二面角的平面角的作法常见的有以下几种：（1） 定义法：在棱上取一特殊点，在二面角的两个半平面内分别过该点作棱的垂线，所成角为二面角的平面角；（2） 垂面法：过二面角内一点作两个半平面的垂线，过两垂线做平面与两个半平面的交线所成角即为二面角的平面角；（3） 三垂线法：过二面角一面内的一点作另一面的垂线，再过垂足作棱的垂线，利用三垂线定理就可得到二面角的平面角；（
3、4） 射影法：平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，若平面与平面所成的二面角大小为，则有（5） 空间向量法：找到两个半平面的法向量，利用法向量的夹角确定二面角的平面角的大小。 不常见的方法还有：将二面角的平面角转化为异面直线所成角；等体积法；但分析全国各地的高考试题，不难发现，对于三垂线法和定义法作二面角的平面角考查得尤为频繁。本文正是基于上面这两种方法，总结高考中的立体几何解答题，归纳出两类常见模型，掌握和熟悉这些模型，可以很好的解决高考要求内二面角的很多问题.二解决问题的模型二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱；每个半平面叫
4、做二面角的面。对于棱给出的二面角，考题中常见的模式为：二面角 1定义法关注问题中的字母，二面角的面分别为平面、平面，二面角的棱为直线。请学生注意表示这两个半平面的三角形和三角形.若这两个三角形是特殊三角形，则可以使用模型的方法。上述特殊三角形为：以棱为底边的等腰三角形；以棱为直角边的直角三角形；两个三角形是全等的。三棱锥模型(1)两三角形全等与全等(图1)，求作二面角的平面角.只需过作于，再连接，由条件，可得，则为所求二面角的平面角.(2)等腰三角形和等腰三角形若,时，求作二面角的平面角.ADCBE图2ADCBE图1只需取的中点,连接,.则为所求（图2）.(3)直角三角形和直角三角形情形1 若
5、,时，求作二面角的平面角.此时异面直线AC与BD所成的角的大小为所求。（图3） 取AD中点E，CD中点G，BC中点F，可知是二面角的平面角。情形 2若,时，求作二面角的平面角.ACDB图4BCDAGEF图3此时，显然是二面角的平面角。（图4）(4)等腰三角形和直角三角形若,时，求作二面角的平面角.只需分别取CD、BC中点E、F，则是二面角的平面角。ACDBEAFA图5 （图5）PGHABCDFE2三垂线法 如右图所示，欲求平面与平面所成二面角。存在平面平面，且平面平面，在交线EF上取一点P，作于点G，于点H，连结GH，则为所求的平面角。 此类模型是通过面面垂直的性质定理寻找垂线的。这类题在高考
6、试题中占有相当大的比重。抽取出这些模型实际上都很简单，一旦将其“藏匿”于形形色色的几何体中，识别它们的难度就大增，总结这些模型的目的是希望熟记这些模型于心，无论它们在几何体中处于什么位置，什么角度，都能快速的识别。这样可有效解决前文提到的第一个难点.三模型的运用由于三垂线法的论述，前人已经做了许多，本文不再赘述。主要探究定义法在高考题中的运用。例1 （2005全国卷）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小。G第（）、（）略是斜
7、边的中点，则，又可计算得，从而，则作，连结，故是平面AMC与平面BMC所成二面角的平面角。具体求解本文不赘述。小结：此题属于模型中第一类情形，两三角形全等例2 （2005北京）如图, 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD, 垂足为E， （I）求证：BDA1C； （II）求二面角A 1BDC 1的大小； （III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小第（）、（III）略由条件易知，所以，与是共底的等腰三角形，则连结，可得是二面角A 1BDC 1的平面角。（后略）小结：此题属于模型中第二种类型，等腰三角形和等腰三角形。SMDCBAEFE例3 （2
8、009全国）四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ABM=60（1）证明：M是侧棱SC的中点；（2）求二面角S-AM-B的大小解：第一问（略） 由第一问可得，则是SC的中点，则可知是直角三角形，棱AM为直角边，是等腰三角形，棱AM为底边。作与点E，取SA中点F，连结EF，BF，则易知是二面角S-AM-B的平面角。（后略）小结：此题属于模型中第四种类型，等腰三角形和直角三角形。例4 （2010全国）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，AB=AD=1,DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面S
9、BC.SDCBAEGH() 证明：SE=2EB() 求二面角A-DE-C的大小。解：第一问（略）经计算AE=AD=1，则是以棱DE为底边的等腰三角形，由第一问可知，则是以棱DE为直角边的直角三角形。分别取DE，CD中点G，H，连结AG，GH则可知是二面角A-DE-C的平面角。小结：此题属于模型中第四种类型，等腰三角形和直角三角形。四、总结上述的二面角的三棱锥模型是最常见的，很多立体几何题以此为模型进行编写，本文试图将求二面角的问题模型化，总结出适用于大多数情况的结构，这对于学生思维的系统化是非常有用的。在运用这些模型前，必须让学生具有自己的思考习惯，这些习惯应当是符合各类模型的转化的。一旦学生具备问题分析的逻辑时，立体几何将不再是困扰他们的难题了。当然，本文在开篇也谈及了各种求二面角大小的方法，并且实战操作中什么情况都可能发生，但是运用上面这些综合的方法，对培养学生推理能力将有不可取代的作用。
