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1、阶段质量检测(四) 定积分(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知f(x)dxm,则nf(x)dx()AmnBmnCmn Dmn解析:选C根据定积分的性质,nf(x)dxnf(x)dxmn.2. (ex2x)dx等于()A1 Be1Ce De1解析:选C (ex2x)dx(exx2)(e11)e0e,故选C.3若 (2x3x2)dx0,则k等于()A0 B1C0或1 D不确定解析:选B (2x3x2)dx(x2x3)k2k30,k0(舍去)或k1,故选B.4.如图所示,图中曲线方程为yx21,用
2、定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A.(x21)dxB.(x21)dxC.|x21|dxD.(x21)dx(x21)dx解析:选C由定积分的几何意义和性质可得:图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S(1x2)dx(x21)dx|x21|dx,故选C.5若f(x)x22f(x)dx,则f(x)dx()A1 BC. D1解析:选Bf(x)x22f(x)dx,f(x)dx2f(x)dx.f(x)dx.6已知f(x)为偶函数且f(x)dx8,则f(x)dx()A0 B4C8 D16解析:选Df(x)为偶函数,其图像关于y轴对称,f(x)dx2f(x)dx16.7.从如图所示的长方形区域内任取
3、一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为()A. B.C. D.解析:选B根据题意得S阴影3x2dxx31,则点M取自阴影部分的概率为.8若 (sin xacos x)dx2,则实数a等于()A1 B1C D.解析:选B (sin xacos x)dx2, (sin xacos x)dxsin xdxacos xdx(cos x) (asin x) 0(1)a2,a1.9由yx2与直线y2x3围成的图形的面积是()A. B.C. D9解析:选B解得交点A(3,9),B(1,1)则yx2与直线y2x3围成的图形的面积S (x2)dx (2x3)dxx3(x23x) .10由曲线y,x4和x
4、轴所围成的平面图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为()A16 B32C8 D4解析:选C由图知旋转体的体积为 ()2dxx28.11已知自由落体运动的速率vgt,则落体运动从t0到tt0所走的路程为()Agt B.C. D.解析:选Cs v(t)dtgt20gt.12.如图,两曲线y3x2与yx22x1所围成的图形面积是()A6 B9C12 D3解析:选B由解得交点(1,2),(2,1),所以S(3x2)(x22x1)dx (2x22x4)dx9.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分请把正确的答案填在题中的横线上)13. cos xdx_.解析:cos xdxsin x.答案:14设
5、函数f(x)ax2c(a0),若f(x)dxf(x0),0x01,则x0的值为_解析:f(x)dx (ax2c)dxcaxc,则x0.答案:15有一横截面面积为4 cm2的水管控制往外流水,打开水管后t s末的流速为v(t)6tt2(单位:cm/s)(0t6)则t0到t6这段时间内流出的水量为_cm3.解析:由题意可得t0到t6这段时间内流出的水量V4(6tt2)dt4 (6tt2)dt4144(cm3)答案:14416已知函数yf(x)的图像是折线段ABC,其中A(0,0),B,C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为_解析:由题意可得f(x)所以yxf(x)与x
6、轴围成的图形的面积为10x2dx (10x10x2)dxx3.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知f(x)(12t4a)dt,F(a)f(x)3a2dx,求函数F(a)的最小值解:f(x) (12t4a)dt(6t24at) 6x24ax(6a24a2)6x24ax2a2,F(a)f(x)3a2dx(6x24axa2)dx(2x32ax2a2x) a22a2(a1)211,当a1时,F(a)最小值1.18(本小题满分12分)求由曲线yx22与直线y3x,x0,x2所围成的平面图形的面积解:S(x223x)dx(3
7、xx22)dx1.19(本小题满分12分)如图,求由曲线yx2,4yx2及直线y1所围图形的面积解:由图形的对称性知,所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍法一:由得C(1,1)同理得D(2,1)则所求图形的面积S222.法二:同法一得C(1,1),D(2,1)则所求图形的面积为S2 (2)dy2dy2(y).20(本小题满分12分)如图所示,抛物线yx2将圆面x2y28分成两部分,现在向圆面上均匀投点,这些点落在图中阴影部分的概率为,求dx的值解:解方程组得x2.阴影部分的面积为dx.圆的面积为8,由几何概型可得阴影部分的面积是82.由定积分的几何意义得dxdx.21(本小题满分12分)已
8、知函数f(x)ex1,直线l1:x1,l2:yet1(t为常数,且0t1),直线l1,l2与函数f(x)的图像围成的封闭图形,以及直线l2,y轴与函数f(x)的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示求当t变化时,阴影部分的面积的最小值解:依题意知,阴影部分的面积S (et1ex1)dx(ex1et1)dx (etex)dx (exet)dx(xetex)(exxet)(2t3)ete1,令g(t)(2t3)ete1(0t1),则g(t)(2t1)et,取g(t)0,解得t.当t时,g(t)0,g(t)是增函数因此g(t)的最小值为ge12e(1)2,故阴影部分的面积的最小值为(1)2.22(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2bx,f(x)是函数f(x)的导数在区间1,1内任取实数a,b,求方程f(x)0有实数根的概率解:f(x)x2axb.若方程f(x)0,即x2axb0有实数根,则0,即a24b,因此方程f(x)0有实数根的条件是满足此不等式组的点P(a,b)形成的图形为图中阴影部分,其面积为S1dada2.而坐标满足条件1a1,1b1的点形成的图形的面积S4,根据几何概型的概率公式可知,方程f(x)0有实数根的概率为P.1