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1、线性代数公式1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有 n!项，可分解为2n行列式;2. 代数余子式的性质：、Aj和aij的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3. 代数余子式和余子式的关系：Mj = （-1； jAijAj = （1, j Mij4. 设n行列式D :n （n V） 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D,，则。勺=（_1） 2 D ；n （n） 将D顺时针或逆时针旋转 90：，所得行列式为 D2，则D2 =（1）k D ； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为Da，则D3二
2、D ；将D主副角线翻转后，所得行列式为 D4，则D4二D ；5. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积；n （n 1） 、副对角行列式：副对角元素的乘积（一1） 2、上、下三角行列式（、|）匚和丄：副对角元素的乘积:主对角元素的乘积;n (n _!)(-1L ；A O= (1)mn AIIB拉普拉斯展开式：A OC B范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积; 特征值；n6. 对于n阶行列式A，恒有：,-1）kSk2，其中Sk为k阶主子式;k 土7. 证明A =0的方法： 、A =-A ； 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax =0，证明其有非零解； 、利用秩，证明r（A） : n
3、； 、证明0是其特征值；2、矩阵8. A是n阶可逆矩阵：A -0 （是非奇异矩阵）；r （A）二n （是满秩矩阵）=A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 Ax =0有非零解；R , Ax =b总有唯一解;=A与E等价；=A可表示成若干个初等矩阵的乘积；=A的特征值全不为 0;=ata是正定矩阵；=A的行(列)向量组是 Rn的一组基；=A是Rn中某两组基的过渡矩阵；9. 对于n阶矩阵A : AA二A* A = AE 无条件恒 成立；10. (A 丄)* =( A*) J(A丄)T =(At)丄(A*)T =(At)*(AB)T =BtAt(AB)* =:B* A*(AB)丄=:B -A -11
4、. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;12. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若 A =A2 .，则：A 二 A A2III A| ；n、;(主对角分块)；(副对角分块)、b oA -I A-B丄CA丄B丄；(拉普拉斯)AOJ;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组13. 一个m汉n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F =(Er 0 |等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A、B，若r(A) =r(B) ：= AL B ；14. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变
5、换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；15. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 、若(A, E )(E , X)，则A可逆，且X =A；c 、对矩阵(A, B)做初等行变化，当 A变为E时，B就变成A，即：(A, B)、( E, AB)；、求解线形方程组：对于rn个未知数n个方程Ax=b，如果(A, b)(E, x)，贝A可逆，且x =A 1b ；16. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、二，左乘矩阵A ,“乘A的各行元素；右乘， 乘A的各列元素
6、;、对调两行或两列，符号 E (i, j)，且 E ( i, jj = E ( i, ,j)例如：r1 、r 1 、1=1b5、倍乘某行或某列，符号E (i (k)，且 E (i(k)- = E (i，例如:(心0)f1f117.、倍加某行或某列，符号E (ij(k)，且 E(ij(k) E(ij(-k)，如:(k = 0)；矩阵秩的基本性质:、0 r(Am n)三min(m,n)r(At) =r(A)；若 AL B，则 r(A) =r(B)；若P、Q可逆，则r (A) = r (PA) = r (AQ) = r (PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩n!m!( n m)!组合的性质：c；二Cm
7、mn 1 一5 Cm4n Cr =2nrc；=nc；：;r 、max(r(A), r(B) r (A, B) r(A) r(B);(探) 、r(A B) r(A) r(B);(探) 、r(AB) Zmin(r(A),r(B);(探) 、如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且AB =0，则：(探)I、B的列向量全部是齐次方程组 AX =0解(转置运算后的结论)；n、r (A) r (B) _ n 、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)_ r(A) r(B) -n ;18. 三种特殊矩阵的方幕： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为 列矩阵(向量)行矩阵(向量) 的形式，再采用结合律;1 a c 、型如0
8、 1 b的矩阵：利用二项展开式；Q 0 bn二项展开式：(a+b)n =C：an -+C：anf1 +|l|+cmanJDbm 十山+C：a1bn丄+C：bn =迟外计m -0注：I、(a b)n展开后有n 1项;m n(n -1)(n -m 1)n、Cn 亦 m 、禾u用特征值和相似对角化:19. 伴随矩阵：inr （A） = n 、伴随矩阵的秩：r（A*）二1r（A） = n _1 ;I 0r （A） :：: n -1 、伴随矩阵的特征值：A （AX =AX , A* = A A丄二A* XAX）;/u/u 、A* = A A丄、A*| = An丄20. 关于A矩阵秩的描述： 、r（A）
9、=n , A中有n阶子式不为0, n 1阶子式全部为0;（两句话） 、r（A） :：: n， A中有n阶子式全部为0; 、r（A） _n， A中有n阶子式不全为0;21. 线性方程组：Ax =b，其中A为m n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax二b为n元方程；22. 线性方程组Ax =b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；23.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:1 x 2 X2 III PnXn 二 b、a21 x a22X
10、2 III a2nxn 二b2；am 1 x!am 2 xanmxn =bn、a12a 22IllIIIX1 x 2Ax =b （向量方程， A为m n矩阵，m个方程，n个未知数）x1、佝 ab III an )X2（全部按列分块，其中p =b2)込n j4 .丿m1、24.m个n维列向量所组成的向量组m个n维行向量所组成的向量组1，2川1， m 构成 n m 矩阵 A=（訂，2,111，m ）；丁，身,川，讣构成m n矩阵B二IHax a?X2 i|i ax.=:（线性表出）有解的充要条件：r（A） =r（A, ） n（ n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性含有有限个向量的有序向量
11、组与矩阵一一对应;25. 、向量组的线性相关、无关二Ax二0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出Ax =b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示=AX二B是否有解；（矩阵方程）26. 矩阵Am n 与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax= 0和Bx= 0同解；（R01例14）27. r（ AtA） = r（A） ； （ R01 例 15）28. n维向量线性相关的几何意义:、:-线性相关二:=0 ；、:,-线性相关:，朴坐标成比例或共线（平仃）；、:,线性相关:, -,共面；29.线性相关与无关的两套定理：若:s线性相关，贝U宀，：2川1, :-s,：、1必线性
12、相关；若j,2，l|l，s线性无关，则：1,：2，|，s丄必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上 n_r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若 B线性相关，则 A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；30. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s）线性表示，且 A线性无关，则r辽s（二版P74定理7）； 向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） r（B） ；（ P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示AX二B有解；二 r （A） =r（A, B）（ P85 定理 2） 向量组A能
13、由向量组B等价二r （A）=r（B） =. r （A, B）（ P85定理2推论）31. 方阵A可逆=存在有限个初等矩阵 Pi, P2,l|l, P，使A=RP2l|l Pi ；r 、矩阵行等价：AB：=PA=B （左乘，P可逆）：=Ax二0与Bx二0同解c 、矩阵列等价：ABu AQ =B （右乘，Q可逆）； 、矩阵等价：ABu PAQ =B （ P、Q可逆）；32. 对于矩阵Am n与Bl n : 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax二0与Bx二0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；
14、33. 若 Am sBs n Cm n，则： 、C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为系数矩阵；（转置）34. 齐次方程组Bx= 0的解一定是 ABx=O的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx=O只有零解 = Bx=O只有零解； 、Bx =0 有非零解=ABx = 0 一定存在非零解；35. 设向量组BnX : b,b,lll,br可由向量组 片鴻：a,a2,III,线性表示为：（P110题19结论）（b ,b2,m,br） =1,a2,|l|,as）K （ B =AK）其中K为s r，且A线性无关，则B组线性无关r（K） = r ；（ B与K的列向量组具有相同线性相关性 ）（必要性： 7r =r（B） =r（AK）
