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1、何谓相时延？何谓群时延？（数字系统的相延迟和群延迟特性对系统输出的影响）（作者：王大伦）（本文选自王大伦著数字信号处理一理论与实践）2.8.6系统无失真传输条件简单地说，有用信号通过滤波器后，允许有一定的延时，但不希望波形失真。为此，系统首先 要保证没有非线性失真，即输出不会产生新的频率分量。与模拟系统不同，LTI系统在进行数字处理 时，并未使用诸如晶体管之类的有源器件，因而不会产生非线性失真，即不会产生新的频率分量。但 它应保证没有频率失真。频率失真取决于系统的模频特性和相频特性。如前所述，LTI系统的频率响 应为H （e 加）=1 H （e 加）1 ej（2.8.29）为了保证无失真传输，
2、在通带内，应使滤波器的模频特性I H（eg）l= K（常数）。现在，我们来看看对相频特性的要求。假设输入信号包含两个频率各为31和32的正弦分量:S，n （n） = A1 sin（n） + A2 sin（2n）它们通过系统后，每个分量的幅度都变为原值的K倍，此外，各自引入相位移七和叩故输出为Sout （n） = KA1 sin（n 甲）+ KA2 sin（2n 一平2）=KA sin（n 一 麦）+ KA sin（n 一 夷）1122=KA1 sin1（n 一 nd 1） + KA2 sin2 （n 一 nd2 ）式中,1=和=号分别是频率为气和 2的正弦波到达输出端的延迟样点数（代表时间）。
3、显然，为了得到无失真传输，应保证nd 1 =七2。因为信号输出总是滞后的，故延迟时间危和七2总是正值。于是，从这个例子可知，为了实现无失真传输，要保证在通带内， 幅频特性I H（e如）1= K（常数）。（2.8.30） 相频特性nd = =常数（中为负值）（2.8.31）nd称为相时延（phase delay），它代表曲线中（）上的一点与原点连线的斜率。f,甲 2 兀 ft1根据相位中=2兀f t，数字频率=2兀f，故=f = nT =勺，所以甲们曲线S fS上的任意点与坐标原点的连线斜率具有时间的量纲，其值为ndxTs。图2.8.7示出低通滤波器的模频特性和相频特性。在通带内。满足了无失真传
4、输条件，即式（2.8.30）和式（2.8.31）。图2.8.7低通滤波器的频率特性图2.8.9窄带带通滤波器的频率特性此外，相频曲线中（）的斜率被定义为群时延（group delay），记为:(2.8.32)-d 中()n =gd群时延作为甲 曲线上的任意点的微商显然也具有时间量纲，上式的负值代表时间延迟。在图2.8.6的低通相频特性上，群时延即是相时延。图2.8.9示出带通滤波器的频率特性。如通 带很窄，则子图B上的a、b两点连线line2逼近该处的切线，这连线的斜率近似于群时延。但直线 linel是曲线上一点与原点的连线，它代表相时延。可见，对于该带通滤波器来说，通带内的群时延 为常数，但
5、相时延是变化的。既然定义了相时延，为什么还要定义群时延呢？问题是我们不可能设计滤波器，使它的相时延 在极宽频带内保持常数，而且也没有必要。高频载波被调幅后，得到调幅波。调幅波通过带通滤波器 时，希望滤波器输出端的调幅波包络线形状不变，即能量不散开，而高频载波波形是否改变，是无关 重要的。因此，要求带通滤波器通带内的群时延为常数，而无需关注相时延【解说020803】。MATLAB程序M020803.M和M020804.M分别演示相时延与群时延对滤波器输出波形的影响。请 参看图2.8.10和图2.8.11。图2.8.10 系统相时延特性对输出的影响(A) 系统相时延为零时的输出(无延时，无波形失真
6、)；(B) 系统相时延为常数时的输出(有延时，无波形失真)(C) 系统相时延不是常数时的输出(有延时，有波形失真)图2.8.11系统群时延特性对输出的影响(A) 系统群时延为零时的输出(无延时，包络线无波形失真)；(B) 系统群时延为常数时的输出(有延时，包络线无波形失真)(C) 系统群相时延不是常数时的输出(有延时，包络线有波形失真)1M020803*% M020803%演示相时延对信号波形的影响set(gcf, color, w)n = 0:30;fs = 1000S11=2*sin(2*pi*50*(1/fs)*n);S13=2*sin(2*pi*150*(1/fs)*n)S21=2*s
7、in(2*pi*50*(1/fs)*n - 0.3*pi);S23=2*sin(2*pi*150*(1/fs)*n - 0.9*pi)S31=2*sin(2*pi*50*(1/fs)*n - 0.3*pi);S33=2*sin(2*pi*150*(1/fs)*n - 0.8*pi)S12=2*sin(2*pi*100*(1/fs)*n);S22=2*sin(2*pi*100*(1/fs)*n - 0.6*pi);S32=2*sin(2*pi*100*(1/fs)*n - 0.7*pi);s1 = S11 + S12 + S13;s2 = S21 + S22 + S23; s3 = S31 +
8、S32 + S33subplot(2,2,1)plot(n,s1); grid;xlabel(n); ylabel(s1(n);subplot(2,2,2)plot(n,s2); grid;1title(原来的合成信号 1, fontsize, 8)xlabel(n); ylabel(s2(n);subplot(2,2,3)title（合成信号2-相位移与频率成正比,fontsize, 8）plot(n,s3); grid; axis(1xlabel(n); ylabel(s3(n);30 -5 5）;title（合成信号3 -相位移与频率不成正比,fontsize, 8）JM020804*%
9、 M020804%演示群时延对调幅波包络线的影响%set(gcf, color, w);fl = 0.3; f2 = 0.8; f3 = 1.2; fc = 10; fs = 200;n = 1 : 2000;d1 = 0.3; d2 = 0.6; d3 = 1.2;s1 = 1 + 0.6 * cos(2*pi*(f1/fs)*n + d1);s2 = 1 + 0.2 * cos(2*pi*(f2/fs)*n + d2);s3 = 1 + 0.5 * cos(2*pi*(f3fs)*n + d3);c = cos(2*pi*(fc/fs)*n)sm = (s1 + s2 + s3) .* c
10、;subplot(321);plot(n, 3+0.4 * cos(2*pi*(f1/fs)*n + d1)+0.2 * cos(2*pi*(f2/fs)*n+d2) + 0.5 * cos(2*pi*(f3fs)*n+d3); gridxlabel(n); ylabel(s1(n);title(原来的调幅波包络线 1);axis(0, 2000, 2, 5);subplot(322);plot(n, sm); gridxlabel(n); ylabel(sm(n); title(原来的调幅波 1)subplot(323);d1 = 0.9; d2 = 1.8; d3 = 3.6;% d1 =
11、 0.1; d2 = -0.4; d3 = 1.0;plot(n, 3+0.4 * cos(2*pi*(f1/fs)*n + d1)+0.2 * cos(2*pi*(f2/fs)*n+d2) + 0.5 * cos(2*pi*(f3/fs)*n+d3); gridxlabel(n); ylabel(s1(n);title(无失真的调幅波包络线 2 );axis(0, 2000, 2, 5);subplot(324);s1 = 1 + 0.6 * cos(2*pi*(f1/fs)*n + d1);s2 = 1 + 0.2 * cos(2*pi*(f2/fs)*n + d2);s3 = 1 + 0
12、.5 * cos(2*pi*(f3fs)*n + d3);c = cos(2*pi*(fc/fs)*n)sm = (s1 + s2 + s3) .* c;plot(n, sm); gridxlabel(n); ylabel(sm(n);title(调幅波 2 )subplot(325);d1 = 0.1; d2 = -0.4; d3 = 1.0;plot(n, 3+0.4 * cos(2*pi*(f1/fs)*n + d1)+0.2 * cos(2*pi*(f2/fs)*n+d2) + 0.5 * cos(2*pi*(f3/fs)*n+d3); grid xlabel(n); ylabel(s
13、1(n);title(有失真的调幅波包络线 3 );axis(0, 2000, 2, 5);subplot(326);s1 = 1 + 0.4 * cos(2*pi*(f1/fs)*n + d1);s2 = 1 + 0.2 * cos(2*pi*(f2/fs)*n + d2);s3 = 1 + 0.5 * cos(2*pi*(f3/fs)*n + d3);c = cos(2*pi*(fc/fs)*n)sm = (s1 + s2 + s3) .* c;plot(n, sm); gridxlabel(n); ylabel(sm(n);title(调幅波 3 )原来的调幅波150010001500调幅波250010001500调幅波350010001500无失真的调幅波包络线2有失真的调幅波包络线3500100015002000500100015002000500100015002000原来的调幅波包络线1
