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1、第2讲解三角形问题题型1利用正、余弦定理解三角形(对应学生用书第5页)核心知识储备1正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A.3三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.典题试解寻法【典题1】(考查解三角形应用举例)如图21，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为
2、30，则此山的高度CD_m.图21思路分析由已知条件及三角形内角和定理可得ACB的值在ABC中，利用正弦定理求得BC在RtBCD中利用锐角三角函数的定义求得CD的值解析依题意有AB600，CAB30，CBA18075105，DBC30，DCCB.ACB45，在ABC中，由，得，有CB300，在RtBCD中，CDCBtan 30100，则此山的高度CD100 m.答案100【典题2】(考查应用正余弦定理解三角形)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长. 【导学号：07
3、804011】解(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.类题通法1.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.2.在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化
4、，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac两项，二者的关系a2c2(ac)22ac经常用到.3.三角形形状判断的两种思路：一是化角为边；二是化边为角.注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解.对点即时训练1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2ccos A，c2bcos A，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形C等边三角形D等腰直角三角形Cb2ccos A，c2bcos A，b4bcos2A，即cos A，或cos A(舍)bc，ABC为等边三角形2如图22，在A
5、BC中，AB2，cos B，点D在线段BC上图22(1)若ADC，求AD的长；(2)若BD2DC，ACD的面积为，求的值. 【导学号：07804012】解(1)在三角形中，cos B，sin B.在ABD中，又AB2，ADB，sin B，AD.(2)BD2DC，SABD2SADC，SABC3SADC，又SADC，SABC4.SABCABBCsinABC，BC6.SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD，SABD2SADC，2，在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC，AC4，24.题型强化集训(见专题限时集训T1、T2、T3、T4、T5、T6、T9、T10、T11
6、、T13)题型2与三角形有关的最值、范围问题(答题模板)(对应学生用书第6页)与三角形有关的最值、范围问题一般涉及三角形的角度(或边长、面积、周长等)的最大、最小问题(2015全国卷T16、2014全国卷T16、2013全国卷T17)典题试解寻法【典题】(本小题满分12分)(2013全国卷)的对边分别为a，b，c，已知.(1)求B；(2)若，求. 【导学号：07804013】审题指导题眼挖掘关键信息看到ABC的内角A，B，C，想到ABC.看到abcos Ccsin B，想到三角形的正弦定理，想到三角恒等变换.看到b2，想到(1)及余弦定理.看到ABC的面积的最大值，想到面积公式及不等式放缩.规
7、范解答(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B2分又，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C4分由和C(0，)得sin Bcos B5分又B(0，)，所以B.6分(2)ABC的面积Sacsin Bac.7分由已知及余弦定理得4a2c22accos .8分又，故ac，当且仅当ac时，等号成立.10分因此ABC面积的最大值为1.12分阅卷者说易错点防范措施忽视三角形内角和定理导致无法求B.熟记三角形内的常见结论，实现角的互化.忽视不等式的变形导致无法解出ac的范围.不等式a2b22ab及ab是应用余弦定理求最值的切入点，平时应加强训练.
8、类题通法1.求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可.注意题目中的隐含条件，如ABC，0A、B、C，bcabc，三角形中大边对大角等.2.在利用含有a2b2，(ab)2，ab的关系等式求最值时常借助均值不等式.对点即时训练(2017石家庄一模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)点D满足2，且AD3，求2ac的最大值解(1)，由正弦定理可得，c(ac)(ab)(ab)，即a2c2b2ac.又a2c2b22accos B，cos
9、 B，B(0，)，B.(2)法一：(利用基本不等式求最值)在ABD中，由余弦定理得c2(2a)222accos 32，(2ac)2932ac.2ac，(2ac)29(2ac)2，即(2ac)236,2ac6，当且仅当2ac，即a，c3时，2ac取得最大值，最大值为6.法二：(利用三角函数的性质求最值)在ABD中，由正弦定理知2，2a2sinBAD，c2sinADB，2ac2sinBAD2sinADB2sinBADsinADB266sin.BAD，BAD，当BAD，即BAD时，2ac取得最大值，最大值为6.题型强化集训(见专题限时集训T7、T8、T12、T14)三年真题| 验收复习效果(对应学生
10、用书第7页)1(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()ABCDC法一：设ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得SABCaaacsin B，ca.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2a22aaa2，ba.cos A.故选C.法二：同方法一得ca.由正弦定理得sin Csin A, 又B，sin Csinsin A，即cos Asin Asin A，tan A3，A为钝角又1tan2A，cos2A，cos A.故选C.2(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.因为A，C为ABC
11、的内角，且cos A，cos C，所以sin A，sin C，所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又a1，所以由正弦定理得b.3(2015全国卷)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_(，)如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CFB中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB.4(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积. 【导学号：07804014】解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.
