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1、考试题型：填空题 2*5，计算题 6*10，叙述题：1*10 案例分析题 1*15，证明题 1*5熟悉书上基本知识点！计算题和案例分析主要分布在书上第三章、第类似书上第9题 1. (10分)已知MA(2)模型：X二e-0.78 + 0.48 ，t tt 1t 2(1) 计算自相关系数P (k 1)，-(2)计算偏相关系数9 (k二1,2,3)；kkk解：(1)EXX二 E(e- 0.78 + 0.48 )(8 - 0.78+ 0.48)t t-ktt-1t -2t-kt-1-kt-2-k所以：k = 0,y = (1+02 +02)02， k = 1,y = (-0 +00 )02,0 1 2
2、 8 1 1 1 2 8k = 2,y =0o2， k 3,y = 0，128k所以：P 二+ +计算偏相关系数甲(k二1,2,3);kk Var(X ) . t =-059 ,1 1+0 2 +0212 -0p =2= 0.24,2 1 +02 +0212P = 0, k 3 .k(2) P =9 P 即9 二 P，所以9 -0.59 .1 11 0 11 1 11当k = 2时，产生偏相关系数的相关序列为9 ,9 ，相应Yule-Walker方程 21 22为：PP9P0121=1P1P0922P2所以 9 0.166.22当k = 3时，产生偏相关系数的相关序列为(P ,9 ,9 ，相应
3、Yule-Walker313233所以90047 .33类似书上第3 题 2.方程为：jPP9P12311P1P9=P11322P2P11933P3(10 分)已知 AR(2)模型为(10.5B)(1-0.3B)X =t t ，De =q 2 = 0.5t e解 (1 O.5B)(1 0.3B)X 二 X -0.8X + 0.15X =8ttt1t 1t J所以：9 = 0.8,Q = 0.1512,对于AR(2)模型其系数满足0.8111丿05丿丿所以:91192沁 0.69565 和 p =2921192+ 92沁 0.40652,p =9 p 即9 = P ,9 = p 沁 0.6956
4、51 11 0 11 1 11 1 .当k = 2时，产生偏相关系数的相关序列为9 ,9 ,相应Yule-Walker方程21 22为:_pp 一_9 一_p _0121=1p1p0922p2所以922=p(1)p(1)9111p(1)9 -1 0.14999 911 2对于AR (p)模型其偏相关系数具有以下特点:9kj所以，922=92 =0.15，933=0(2) E(X X )=E(9Xt t1 t1X +9 X X +8 X )Jt2 t2 tt tr =9 r +9 r + E8 (9 X +9 X +8 ) =9 r +9 r +Q2, r = r p ， r = r p01 1
5、2 2t 1 t12 t2t1 12 28 10 12 0 2因 9 = 0.&9 =0.15， b 2 = 0.5， p 沁 0.69565， p 沁 0.40652.1 2 a 1 2所以：Var(X ) =丫 沁 0.99116 .t03.检验下列模型的平稳性与可逆性，其中81为服从正态分布的白噪音。(1) x = x + 2x+8t t-1 t-2 t（2） x = 0.8x- 1.4x+e + 1.6e + 0.5ett-1t2tt1t2解：AR （p）模型平稳性的特征根判别法要求所有特征根绝对值小于1,AR模型平稳性的平稳域判别法要求帥11 1,AR（2）模型平稳性的平稳域判别法要
6、求：10 1 1, 0 1, 0 +0二3 1, 0 -0二1不小于1,平稳域判别法：非平稳。 2 2 1 2 1又为 AR 模型，故可逆。(2)0 | = |1.4| = 1.4 120 +0 = 0.8 1.4 = -0.6 1 ，所以模型非平稳；210 0 =1.40.8=2.2121p | = | 0.5| = 0.5 1 + 6 =0.5 1.6 = 2.1 121综上，该模型非平稳、不可逆。4、设一元时间序列X 服从如下的AR(2)模型tX = X 0.5 X+tt 1t 2t其中X二0.3, X二0.2, 8为服从正态分布的白噪音，Var( ) = 0.1，试求：10 9 t 1
7、 判断X 是否平稳的，说出理由。t(2) 计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值 95%的预测区间( 0.975二 1.96)(3) 计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值解：(1) AR(2) 模型的滞后多项式为Q(B)二 1 - B + 0.5B2由(B) = 0，可得方程的两个根为B = 1 + i，B = 1 - i，n I B 1 1，I B 卜 11 2 1 2所以X 是平稳的序列。或者特征根方法。t(2) 基于 AR(2) 模型的预测公式知X (1)二 X - 0.5X 二 0.3 - 0.1 二 0.210109X (2)二 X (1) - 0.5X 二 0.2 - 0.15
8、 二 0.05 10 10 10对应的预测误差为G 二 10G = G 二 11 1 0所以预测误差的方差为var(e (1) = G2c 2 = 0.110 0 8var(e (2) = (G2 + G2)c 2 = 0.210 0 1 8由e (1) N(0,0.1)， e (2) N(0,0.2)10 10知预测值 95%的预测区间分别为0.2 土 1.96* 701, 0.05 土 1.96*即第 11 期和 12 期的预测值95%的预测区间分别为0.42,0.82, 0.83,0.93(3) 根据已知的 AR(2) 模型，可推出自相关函数满足p = p 0.5 p , l 2ll 1
9、l 2由 p = p , p 二 1 知110p = 2/3, p = 1/6, p =1/61235、设一元时间序列X 服从如下的AR(2)模型t(1 0.5 B )(1 0.3B) X =tt其中B为滞后算子，X = 0.1,X = 0.2，8为服从正态分布的白噪音，10099tVar (8 ) = 0.1 ，试求1(1) 如果AR(2)模型用X =申X +申X +8形式表示时，则系数* ,*t 1 t 12 t 2t 1 2为多少，并判断X 的平稳性，说出理由。t(2) 计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值 95%的预测区间( 0.975=1.96)(3) 计算一阶、二阶和三阶的
10、自相关函数值解：(1)根据滞后算子的定义BXt = Xt1，我们有X = 0.8X 0.15X+8tt 1t 2tAR(2) 模型的滞后多项式为(B)二 1 - 0.8B + 0.15B2由(B) = 0，可得方程的两个根为B = 3/10 , B = 2 , n I B 1, I B 11 2 1 2所以X 是平稳的序列。t(1) 基于 AR(2) 模型的预测公式知X (1)= 0.8X 0.15X = 0.08- 0.03 = 0.05 100 100 99X (2) = X (1)- 0.15X= 0.040.015 = 0.025100 100 100对应的预测误差为G 二 10G =
11、 G = 11 1 0所以预测误差的方差为var(e (1) = G2c 2 = 0.110 0 var(e (2) = (G2 + G2)c 2 = 0.16410 0 1 由e (1) N(0,0.1)， e (2)N(0,0.164)100 100知预测值 95%的预测区间分别为0.05 土 1.96* J0.1 , 0.025 土 1.96 0.164(2) 根据已知的 AR(2) 模型，可推出自相关函数满足p 二 0.8p 0.15p , l 2ll -1l -2由 p = p , p 二 1 知110p = 16/23 = 0.696 , p = 0.41 , p 二 0.223
12、1236、设一元时间序列X 服从如下的ARMA(1,1)模型tX 二 0.8X -0.6e +8tt1t1t其中X二0.3,8二0.01, 8为服从正态分布的白噪音，Var(s ) = 0.0025 ,100100t1试求：(1) 判断X 是否平稳的，说出理由。t(2) 扌巴ARMA(1,1)模型表示为MAS)的形式。(3) 给出下期的预测值，预测误差和误差的方差及预测值 95%的预测区间( 0.975=1.96)。解：(1) ARMA(1,1) 模型的自回归滞后多项式为0( B) = 1 0.8B由0(B) = 0，可得方程的1个根为B 二 5/4 11所以X 是平稳的序列。t(2) (1
13、0.8B)X 二(1 0.6B)8ttX = (1 0.6 B)(1 + 0.8B + 0.82 B 2 +A )stt=(1 + 0.6B + 0.6 * 0.8B2 + 0.6 * 0.82B3 +A )st=8 + 0.6 *0.8 j-18tt jj=1基于ARMA(1,1)模型的预测公式知X (1)=0.8X0.68=0.240.006=0.234100 100 100由于G = 1,G = G 6 = 0.8 0.6 = 0.20 1 1 0 1所以预测误差的方差为Vare (1) = G2q 2 = 0.0025100 0 e100(1) N(0,0.0025)知一步预测值 95%的预测区间分别为0.234 土 1.96* J0.0025即第101
