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1、求数列通项公式的八种方法一、公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于：a 1 = a + f (n)a 2 - a1= f (1)若 a - a = f (n) (n 2)，则 一 = f n+1nLLa - a = f (n)两边分别相加得妇-a广乎f(n)k=1例1已知数列a 满足a = a + 2n +1，a = 1，求数列a 的通项公式。nn+1n1n解：由 a 1 = a + 2n +1 得a 1 -a = 2n +1 则所以数列a的通项公式为a = n2。例2已知数列a 满足a = a +2x3 +1，a = 3，求数列a 的通项公式。 n
2、n+1n1n解法一：由 a = a +2x3n +1 得a -a = 2x3n +1 则n 1 nn 1 na = (a a ) + (a a ) +L + (a a ) + (a a ) + an nn-1n-1n -232211=(2 x 3n-1+1)+(2 x 3n-2+1)+L +(2 x32+ 1)+(2 x 31 + 1)+3=2(3n-1+3n-2 +L +32+31) + (n -1) + 33(1- 3n-1)=2+ (n -1)+31 - 3=3n 3 + n 1 + 3= 3n n -1所以a = 3n + n 一 1.解法二:气广3气+ 2 x3n +1两边除以3a2
3、1= n + +3n33+1a a 21、3+1 蓊33+1因此% =2(n 百(1 3t)2n 11+ 1+ 31 332 2 x3n贝V a = 3 x n x 3n + 2 x 3n 一上.2、累乘法适用于:a = f (n)an+1n若 = f (n)， an则 % = f (1)4 = f (2),L L a a两边分别相乘得，a计 f (k)k=1例3已知数列a 满足a +1=2(n + 1)5n x a求数列a的通项公式。解：因为a= 2(n + 1)5n xa , a = 3，所以 a 。0，则 = 2(n +1)5，故n+1n 1nana = % - J L -a -a -
4、an a a a a 1=2(n 1 + 1)5n-12(n一2 + 1)5n-2L -2(2 + 1)x522(1+1)x51x3=2n-1n(n 1)L 3x2 x 5(n 1)+(n-2) +L + 2+1 x 3n (n1)=3 x 2n1 x 5 2 x n!所以数列叩的通项公式为a广3x 2n1 x5x n!.三、待定系数法适用于a 1 = qa + f (n)分析：通过凑配可转化为a+人f (n) = X a +人f (n)；n+112 n 1解题基本步骤:1、确定f (n)2、设等比数列。+人1 f (n),公比为气3、列出关系式a +人f (n) = X a +人f (n)
5、n+112 n 14、比较系数求气，气 5、解得数列a +X1 f (n)的通项公式6、解得数列a 的通项公式n例4已知数列叩中，匕=1,。广2叽+ 1(n 2)，求数列aj的通项公式。解法 : Q a = 2a+ 1(n 2),又Q a1 +1 = 2,.a +1是首项为2,公比为2的等比数列a +1 = 2n，艮P a = 2n 1解法: Q a = 2a+ 1(n 2),两式相减得-a广2(a广)( 2)，故数列a+1 - a是首项为2,公比为2的等比数 列，再用累加法的例5已知数列an满足an+1 = 2an + 43n1，% = 1，求数列a 的通项公式。解法一：设a +人3n =X
6、 (a +人31)，比较系数得人=-4, X = 2， n+112 n12则数列a -4. 3n1是首项为a -431=-5，公比为2的等比数列， n1所以 a -4 3n-1 =5 2n-1，艮P a = 4 3n-1 -5 2n-1解法二：两边同时除以3n+1得：孔=2 土 + 4，下面解法略 3n+13 3n 32注意：例6已知数列a 满足a = 2a + 3n2 + 4n + 5, a = 1，求数列a 的通项公式。 nn +1n1na + x (n +1)2 + y(n +1) + z = 2( a + xn 2 + yn + z)比较系数得x = 3,y = 10,z = 18，所
7、以 a 1 + 3(n +1)2 +10(n +1) +18 = 2(a + 3n2 +10n +18)由 a1 + 3 x 12 +10 x 1 +18 = 1 + 31 = 32。0，得 a + 3n2 + 10n +18。0则m+nrS +18 = 2，故数列(a + 3n2 +10n +18为以 na + 3x 12 +10x 1 +18 = 1 + 31 = 32为首项，以2为公比的等比数列，因此 1a + 3n2 +10n +18 = 32 x 2n-1，则 a = 2n+4 - 3n2 -10n -18。注意：形如 a = pa + qa 时将a作为f (n)求解分析：原递推式可
8、化为a”，+M“广(p +人)(气+1 +M)的形式，比较系数可求得人，数列a +人a 为等比数列。n+1n例7已知数列(a 满足a = 5a -6a ,a =-1,a = 2，求数列(a 的通项公式。nn+2n+1n 12n解军:设a +人a = (5 +人)(a +人a )比较系数得人=-3或拦-2，不妨取拦-2，则 a 2 - 2a 广 3(a 1 - 2a )，则a -2a是首项为4,公比为3的等比数列 n+1na -2a = 4-3n-1，所以a=43n-1 - 5 2n-1四、迭代法例8已知数列（a 满足a 1=a3（n+1）2n，a = 5， 求数列（a的通项公式。解：因为a =
9、a 3( n+1)2n， 所以 n 1 n又a = 5，所以数列（a 的通项公式为a =53“项2丁1nn注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例9已知数列化满足。=2x3xq5, 。= 7，求数列。的通项公式。nn+1n 1nA? J 因为 q =2x3xg5, g=7, 所以白0, a 0 +ln 1nn+1两边取常用对数碍Igo = 51g a +nlg3 + 1g2n+1n2/r以+1+ x(n + l)+ y = 5(lg(a +xn+y) n（同类型四）比较系数得，号尸祟喝由叶毕嗤普顼早喽骨得叶+譬+孕。，所以数
10、列igs邕 +邕+蛭是以Ig7 +邕+邕+暨为首项，以5为公比的等比数 ”41644164列，则糜+堕 +姬+姬=（倒+姬+堕+些）5启，因此41644164lg。n*7+姬+如+竺5”一 安-姬-暨41644641 J- 1a _L =lg(7 34 316 . 24 )5-i lg(34 316 . 24)=lg(7 -34 -316 24)5T -lg(34 -316 -24)5”一一1s-T =lg(?5-l -3 162 4 )El5/?4一15T 1则=75tx3 16 X 2 4 n2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例10已知数列。满足。二%,。=1，求数列化的
11、通项公式。+i a +2 1n解：求倒数得=等差数列，首项l.i，公差为L,a 2 a a a 2 a a a2n+1n n+1 n+l n13、换元法适用于含根式的递推关系例11已知数列。满足a = 1(1+ 4a +&TE), a =1，求数列a 的通项公式。 nn+1 16nn 1n解：令b = ：1 + 24a，则 a = (b2 -1)nnn 24 n代入 a = 16 (1+ 4a + J1 + 24a )碍即 4b2 = (b + 3)2因为b =、,；1 + 24a 0，则 2b = b +3，即b =1 b + 3，n+1 nn+1 2 n 2可化为 b - 3 = 1(b
12、- 3)，n+12 n所以bn -3是以b1 -3 =姮希-3 = C4W-3 = 2为首项，以2为公比的等比数列，因此 b - 3 = 2(|)n-1 = (2)n-2，贝V b = (|)n-2 + 3，即 J1+ 24a = (2)n-2 + 3，=W1) n + (i) n + 13 423六、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例12已知数列a 满足a = a +辿+1，a = 8，求数列a 的通项公式。 nn+1n (2 n +1)2 (2 n + 3)21 9n解：由 a = a +8(2及 a = 8，得n+1n (2 n
13、 +1)2(2 n + 3)21 9由此可猜测a = (2 +1)2-1，下面用数学归纳法证明这个结论。 n(2 n +1)2(1) 当n = 1时，a = E +1)2-1 = 8，所以等式成立。1(2 X1 +1)29(2) 假设当n = k时等式成立，即a = (2S1)2-1，则当n = k +1时，k(2 k +1)2由此可知，当n = k +1时等式也成立。根据(1), (2 )可知，等式对任何n e N*都成立。七、阶差法 1、递推公式中既有七，又有七分析：把已知关系通过a =榔n =1转化为数列a 或S的递推关系，然后采用相n S - Sn 2n n应的方法求解。例13已知数列a 的各项均为正数，且前n项和S满足S = -(a + 1)(a + 2)，且a ,a ,a nnn 6 nn249成等比数列，求数列a的通项公式。解：.对任意n e N +有S = 6(a + 1)(a + 2).当 n=1 时，S- = a- = 6(a- + 1)(a- + 2)，解得a- = 1 或a- = 2当 nN2 时，s = 1(a +
