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1、数列(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2010黄冈模拟)记等比数列an的公比为q，则“q1”是“an1an(nN*)”的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：可以借助反例说明：如数列：1，2，4，8，公比为2，但不是增数列；如数列：1，是增数列，但是公比为0，an10，当1即n9时，an1an，所以an从第10项起递增；n9时，an10在n1时恒成立，只需要(2n1)max3，故3.答案：D12已知数列an满足an1，且a1，则该数列的前2 008项的和
2、等于 ()A1 506 B3 012 C1 004 D2 008解析：因为a1，又an1，所以a21，从而a3，a41，即得an，故数列的前2 008项的和为S2 0081 004(1)1 506.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分将答案填写在题中的横线上)13(2010长郡模拟)已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1，若a61，则m所有可能的取值为_解析：由a61a52a44a31或8a22或16a14或5、32.答案：4,5,3214已知数列an满足a1，anan1(n2)，则an的通项公式为_解析：anan1()，an(anan1)(an1an2)(a2a1
3、)a1(11)，得：an.答案：an15已知等差数列an的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(nN*)若a11，a43，S39，则通项公式an_.解析：由a11，a43，S39得，令xa1，yd得，在平面直角坐标系中作出可行域可知符合要求的整数点只有(2,1)，即a12，d1，所以an2n1n1.答案：n116(文)将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678 9101112131415根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行的从左至右的第3个数是_解析：前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为.答案：(理)下面给出一个“直角三角形数阵”：，
4、满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(ij，i，jN*)，则a83_.解析：由题意知，a83位于第8行第3列，且第1列的公差等于，每一行的公比都等于.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为(81)2，a832()2.答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知数列an中，其前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求Sn57时n的取值范围解：(1)n，an，Sn成等差数列，Sn2ann，Sn12an1(n1)(n2
5、)，anSnSn12an2an11(n2)，an2an11(n2)，两边加1得an12(an11)(n2)，2(n2)又由Sn2ann得a11.数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，an122n1，即数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，Sn2ann2n12n，Sn1Sn2n22(n1)(2n12n)2n110，Sn1Sn，Sn为递增数列由题设，Sn57，即2n1n59.又当n5时，26559，n5.当Sn57时，n的取值范围为n6(nN*)18(本小题满分12分)设数列an满足a1t，a2t2，前n项和为Sn，且Sn2(t1)Sn1tSn0(nN*)(1)证明数列an为等比数
6、列，并求an的通项公式；(2)当t2时，比较2n2n与tntn的大小；(3)若t2，bn，求证：2n2.解：(1)证明：由Sn2(t1)Sn1tSn0，得tSn1tSnSn2Sn1，即an2tan1，而a1t，a2t2，数列an是以t为首项，t为公比的等比数列，antn.(2)(tntn)(2n2n)(tn2n)1()n，又t2，1，则tn2n0，(tn2n)1()n0，tntn2n2n.(3)证明：(tntn)，2()(2222n)(21222n)2(2n1)12n2n1(12n)2n12，2n2.19(本小题满分12分)(2010黄冈模拟)已知二次函数f(x)x2axa(a0)，不等式f(
7、x)0的解集有且只有一个元素，设数列an的前n项和为Snf(n)(1)求数列an的通项公式；(2)设各项均不为0的数列cn中，满足cici10的正整数i的个数称作数列cn的变号数，令cn1(nN*)，求数列cn的变号数解：(1)由于不等式f(x)0的解集有且只有一个元素，a24a0a4，故f(x)x24x4.由题Snn24n4(n2)2则n1时，a1S11；n2时，anSnSn1(n2)2(n3)22n5，故an(2)由题可得，cn.由c13，c25，c33，所以i1，i2都满足cici1cn，且c4，同时10n5，可知i4满足ci、ci10.满足cici10的正整数i1,2,4，故数列cn的变号数为3.20(本小题满分12分)已知数列an满足：a11，a2，且3(1)nan22an2(1)n10，nN*.(1)求a3，a4，a5，a6的值及数列an的通项公式；(2)设bna2n1a2n，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)经计算a33，a4，a55，a6.当n为奇数时，an2an2，即数列an的奇数项成等差数列，a2n1a1(n1)22n1.当n为偶数
