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1、几何精练空间直线异面关系的判定与度量考点动向空间直线的位置关系，除了初中就熟悉的相交与平行外，立体几何中新增加了异面关系， 这部分是立体几何的传统重点知识，从客观小题到解答大题都会涉及到，有对异面关系的判 定问题，也有对异面程度的度量问题，涉及异面成角与异面直线间的距离，这些问题可以充 分考查考生的空间想象能力，解题方法主要是平移直线与借助直线的方向向量等，可以预测 考查空间异面直线的问题仍将保持热度.方法范例图1 1例如图1 1，已知两个正四棱锥P - ABCD与Q - ABCD的高分别为1 和 2，AB = 4 .(I) 证明PQ 平面ABCD；(II) 求异面直线AQ与PB所成的 角；(
2、III) 求点P到平面QAD的距离.解析 本题设置的三问，有证有算，由于已知为两个同底的正棱锥组合而成的，故可以利用几何体的性质，构造空间直角坐标系，借助向量解答，对于求异面直线所成的角，也可利用定义实施平移解答.解法1 (I)连结AC，BD，设ABD =0 .因为P- ABCD与Q - ABCD都是图1 2正四棱锥，所以P0平面ABCD，QO 1平面ABCD.从而P，0, Q三点在一条直线上，所以PQ 1平面ABCD.(II)由题设知，ABCD是正方形，所以AC 1 BD.由(I)，PQ 1平面ABCD，故可分别以直线CA，DB，QP为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系(如图12)由题设条件
3、，相关各点的坐标分别是P(0，0，1) , A(2i20,0) Q(0,0, 2), B(0,2/公0).所以 aq = (2,0,- 2),PB = (0,2 顶2, 1).于是 cos AQPB二AQfB 吏AQjP- 9ACQ图13取OC的中点N，连结PN .因为PO 1 NO NO 1 :,: OQ 2 OA OC 2所以POOQNOOA,从而从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos（III）由（II）,点 D 的坐标是（0,- 2扬0）, AD = （-2互-2疝0）PQ = （0,0,-3）, 设n = 3,，z）是平面QAD的一个法向量,由: 0得恃盘0一lPQn 3J2取X
4、 : 1,得n : (1 1,J2).所以点P到平面QAD的距离d :*n 2解法2 一（【）取AD的中点M ,连结PM, QM .因为P ABCD与Q ABCD都是正 四 棱锥， 所 以A AD , P 1M .从而AD 1平面PQM .又PQ u平面P QM,所以P Q1 AD同理PQ 1 AD，所以PQ 1平 面ABCD.（II）连结 AC, BD，设 AC BD & ,由PQ 1平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P, A, Q, C四点共面.AQ PN, Z BPN （或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.连结BN .因为 PB =, OB2 + OP2 = ；(2%2
5、)2 +1 : 3 , PN = ON2 + OP2 :点克)2 +1 :齐,BN =OB2 + ON2 ： (2 2)2 + ( 2)2 : .10 ,PB 2 + PN 2 BN 29 + 3 103所以 cosZBPN :=:2 PBN2 x 3 x3 9 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos =.9(III)由(I)知，AD 1平面PQM，所以平面QAD 1平面PQM .过P作PH 1 QM于H，则PH 1平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离.连结OM，因为 OM =1AB = 2 = OQ，所以 /MQP = 45。.又 P Q= P O QO 于是2P H= P
6、s Qn。牛蜉.即点P到平面QAD的距离是32 .规律小结(1) 涉及异面直线的求夹角与距离的问题，求距离在高考最新大纲要求下，只要能解 决异面直线的公垂线已知的问题，只需要记住异面直线的公垂线是和它们均垂直且相交的直 线即可.因此，求异面直线的夹角是很重要的问题，主要借助异面直线夹角的定义进行，注 意定义中平移的不确定性使问题的解法多样化，常见的有外移，内移，补形等方法.注意平 移的好坏取决于是否有利于第二步构造三角形求角.(2) 借助直线的方向向量求异面直线的夹角，注意选取点的坐标要容易确定，向量的 夹角可以是钝角，而异面直线的夹角只能是锐角或直角.有时，也可以借助基向量的方法解 答，而不
7、是建立空间直角坐标系解答.考点误区分析(1)注意第一步的平移十分重要，不可随意而作，否则往往会带来繁杂的运算，要注 意实施多次尝试平移，寻找最佳解题方案，此类问题显然需要构造辅助线解答，充分考查考 生的空间想象能力，一般若平移能够很好解决，可以不考虑运用向量的方法.当借助直线的 方向向量解决时，若不是特殊角，注意借助反三角函数表示角的基本知识.(2 )向量之间的夹角公式cos0 =求出的可能是钝角，不妨直接利用I a II b IA Acos 0 =|顼七I .而若成角为直角，有时也用证明代替求解的特殊方法.如对正四面体I a II b IABCD，求直线AB与CD所成的角，容易证明它们互相垂
8、直，则成角为90。.A A同步训练1.已知二面角a - l - b的大小为60 ，m,n为异面直线，且m A a、n A b，则m,n所成的角为().(A) 30(B) 60(C)90(D )120图142 .在四棱锥P - ABCD中，底面是边长为2的菱形./DAB = 60，对角线AC与BD相交于点 0O, PO上平面ABCD, PB与平面ABCD所成角为60 . 0(1) 求四棱锥P-ABCD的体积；(2) 若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示).3 .如图5所示，AF, DE分别是日O, O的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD = 8 . BC
9、是口 O的直径，AB= A(= 6，OE AD.(1) 求二面角B - AD - F的大小；(2) 求直线BD与EF所成的角.4 .如图，四面体ABCD中，O，E分别是 BD ， BC 的中点，C AC= B =C2，DA= ADD2 .(1) 求证：AO上平面BCD；(2) 求异面直线AB与CD所成角的大小；(3) 求点E到平面ACD的距离.参考答案1. 解析直接作草图或想象，不难得出夹角为60，注意120的干扰.答案(B).2. 解析对(1)，底面菱形的形状确定，实际是两个正三角形拼接成的，求出其 面积，再根据已知的线面角求出高，则借助锥体的体积公式V =1 Sh可得；对(2)，以O为坐标
10、原点，射线OB，OC，OP分别为%轴，y轴，乙轴的正半轴，建立空间直角坐标系.求出DE与AP的夹角即为所求.或者，取AB的中点F,连接EF, DF , ZFED是异面 直线DE与PA所成角（或它的补角），在AFED中解出该角即可.2答案（1）2；（2） arccos.43 .解析对（1）,可知ZBAF即为所求平面角；对（2）,可以O为原点，BC, AF,OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，确定BD,FE的坐标即可求出.82答案(1) 45； (2) arccos-4.解析对（1），可证AO 1 BD, AO 1 OC ；对（2），取AC的中点M， 直线0E与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.对（3），由=acd aCDE可得.（2），（3 ）也可借助向量解答，对（2），以O为原点，BD,OC,OA所在直线 为坐标轴，建立空间直角坐标系，确定BA, CD的坐标即可求出.对（3），可得平面ACD又EC丰1，旦，0点E到平面A CD的距离的法向量为n = JJ3，1h -也把Ki一 |叫一万一丁答案, 、 扬(2) arccos ；4
