找出数列的排列规律一

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1、 找出数列的排列规律（一） 找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。（一）思路指导 例1. 在下面数列的（ ）中填上适当的数。 1，2，5，10，17，（ ），（ ），50 分析与解： 这个数列的排列规律是什么？我们逐项分析： 第一项是：1 第二项是：2， 第三项是：5， 第四项是：10， 可以看出，这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即： 第一个括号里应填；第2个括号里应填。 例2. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数

2、，这样得到一个数列： 1，4，7，10 问：第100个数是多少？ 分析与解： 这个题由于数太多，很难像例1那样递推，我们可以换一种思路： 数列中每相邻两个数的差都是3，我们把这样的数列叫做等差数列。我们把“3”叫做这个等差数列的公差。 观察下面的数列是等差数列吗？如果是，它们的公差是几？ （1）2，3，4，5，6，7 （2）5，10，15，20，25，30 （3）1，2，4，8，16 （4）12，14，16，18，20 现在我们结合例2找一找每一项与第一项，公差有什么关系？ 第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，依次类推，第100项就比第一项多99个3

3、，所以第100个数是。 由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：第一项（这项的项数1）公差 我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。 试试看：你能求出数列3，5，7，9中的第92个数是多少吗？ 例3. 已知一列数：2，5，8，11，14，44，问：44是这列数中的第几个数？ 分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？ 以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。

4、由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于： （这一项首项）公差1 这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。 试试看：数列7，11，15，195，共有多少个数？ 例4. 观察下面的序号和等式，填括号。序号1234（ ）等式( )+( )+7983=( ) 分析与解： 表中等式的第1个加数是1，3，5，7，9，是一个等差数列，公差是2，第二个加数也是一个等差数列，公差是3，第三个加数也是一个等差数列，公差是4，和同样是一个等差数列，公差是9。由于第三个加数的最后一项是7983，可以根据等差数列的项数公式求出7983是3，7，11，15这个等差数列的第几项，也就是序

5、号。这样我们就可以分别求出各个等差数列的第1996项是多少了，利用通项公式： 综上所述，括号里应填的数是： （1996） （3991）（5987）7983（17961） 例5. 已知数列1，4，3，8，5，12，7，16，问：这个数列中第1997个数是多少？第2000个数呢？ 分析与解：从整体观察不容易发现它的排列规律，注意观察这个数列的单数项和双数项，它们各自的排列规律为： 单数项：1，3，5，7， 双数项：4，8，12，16， 显然，它们各自均成等差数列。 为了求出这个数列中第1997个数和第2000个数分别是多少，必须先求出它们各自在等差数列中的项数，其中： 第1997个数在等差数列1，

6、3，5，7，中是第个数； 第2000个数在等差数列4，8，12，16，中是第1000个数。 所以，第1997个数是。 第2000个数是答题时间：40分钟（二）尝试体验 1. 按规律填数。 （1）1，2，4，（ ），16； （2）1，4，9，16，（ ），36，49； （3）0，3，7，12，（ ），25，33； （4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34； （5）2，7，22，64，193，（ ）。 2. 数列3，6，9，12，15，387共有多少个数？其中第50个数是多少？ 3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），求第100组的三个数之和。 4. 下面各列数中都有

7、一个“与众不同”的数，请将它们找出来： （1）6，12，3，27，21，10，15，30，； （2）2，3，5，8，12，16，23，30，。请做完之后，再看答案【试题答案】（二）尝试体验 1. 按规律填数。 （1）1，2，4，（ ），16； （2）1，4，9，16，（ ），36，49； （3）0，3，7，12，（ ），25，33； （4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34； （5）2，7，22，64，193，（ ）。 答案： （1）后一个数是前一个数的2倍：1，2，4，（8），16； （2）从1开始自然数的平方数：1，4，9，16，（25），36，49； （3）相邻两个数的差是逐渐增

8、加的：0，3，7，12，（18），25，33； （4）前两个数之和等于后面的数：1，1，2，3，5，8，（13），21，34； （5）后一个数总是前一个数的3倍多1：2，7，22，64，193，（580）。 2. 数列3，6，9，12，15，387共有多少个数？其中第50个数是多少？ 答：共有129个数，其中第50个数是150。 3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），求第100组的三个数之和。 每组第1个数是按自然数顺序排列的，公差是1的等差数列 每组第2个数是平方数 每组第3个数是立方数 第100组的三个数之和是 4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找

9、出来： （1）6，12，3，27，21，10，15，30，； （2）2，3，5，8，12，16，23，30，。 答案： （1）这列数中每一个数都是3的倍数，只有10不是。 （2）这列数中从第2项起，每一项都等于相邻的前一项分别加上1，2，3，4，5，这样第6个数应该是12+5=17，不是16。所以，16是“与众不同”的数。 找出数列的排列规律（二） 这一讲我们利用前面学习的等差数列有关知识和找规律的思想方法，解决数学问题。（一）例题指导 例1. 如果按一定规律排出的加法算式是3+4，5+9，7+14，9+19，11+24，那么第10个算式是（ ）+（ ）；第80个算式中两个数的和是多少？ 分析

10、与解： 第一个加数如下排列：3，5，7，9，11，这是一个等差数列，公差是2，第二个加数排列如下：4，9，14，19，24，这也是一个等差数列，公差是5。 根据等差数列的通项公式可以分别求出第10个算式的两个加数。 所以第10个算式是。 要求第80个算式的和，只要求出第80个算式的两个加数，再相加即可，当然也可以找一找和的规律。 想一想：第几个加法算式中两个数的和是707？ 例2. 有一列数：1，2，3，5，8，13，这列数中的第200个数是奇数还是偶数？ 分析与解：要想判断这列数中第200个数是奇还是偶，必须找出这列数中奇、偶数的排列规律。 不难看出，这列数是按照“奇偶奇”的顺序循环重复排列

11、的，即每过3个数循环一次。那么到第200个数一次循环了66次还余2。这说明到第200个数时，已做了66次“奇偶奇”的循环，还余下2个数。也就是说余下的两个数依次为“奇偶”，所以第200个数是偶数。 例3. 下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17， 问：（1）第1998个算式是（ ）+（ ）； （2）第（ ）个算式的和是2000。 分析与解： （1）第1个加数依次为1、2、3、4，1、2、3、4每4个数循环一次，重复出现。，所以第1998个算式的第1个加数是2。第二个加数依次为1，3，5，7，9，11是公差为2的等差数列。根据

12、等差数列的通项公式可求出第1998个算式的第2个加数为，所以第1998个算式是。 （2）由于每个算式的第二个加数都是奇数，所以和是2000的算式的第1个加数一定是奇数，不会是2和4。只有或。其中x是1、3、5、7、9中的某个数。 若，则。根据等差数列的项数公式得：，这说明1999是数列1、3、5、7、9中的第1000个数，因为，说明第1000个算式的第1个加数是4，与假设矛盾，所以； 若，则。与上同理，说明1997是等差数列1、3、5、7、9中的第999个数，由于，说明第999个算式的第一个加数是3，所以，第999个算式为。 例4. 将1到200的自然数，分成A、B、C三组： A组：1 6 7

13、 12 13 18 B组：2 5 8 11 14 17 C组：3 4 9 10 15 16 根据分组的规律，请回答： （1）B组中一共有（ ）个自然数； （2）A组中第24个数是（ ）； （3）178是（ ）组里的第（ ）个数。 分析与解：（1）B组中的数成等差数列，其首项是2，公差是3，从整个数表看，竖着数是每3个数一组，因为，所以200是B组中的最后一个数，根据等差数列的项数公式。所以，B组中一共有67个自然数。 （2）观察A组中数的排列规律，由于24是偶数，所以应特别注意偶数位置上的数的排列规律。第几个数就是3的几倍，第24个数就是3的24倍，所以A组第24个数是。 （3）观察A、B、C三组数（竖看），每2列为一组（6个数），4，说明重复29次，还剩下4个数，这4个数重新排列一下可知，178排在C组。每一组含有C组的2个数。最后余下的4个数，在C组又排了2个，所以178在C组中是第个数。答题时间：40分钟（二）尝试体验 1. 如下图所示，黑珠、白珠共102个，穿成一串，这串珠子中，最后一个珠子是（ ）颜色的，这种颜色的珠子共有（ ）个。 2. 有红、白、黑三种纸牌共158张，按5张红色，后3张白色，再4张黑色的次序排列下去，最后一张是（ ）色，第140张是（ ）色。