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1、圆锥曲线的综合问题(一)最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=O(A, B不同时为 0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量 y)的一元方程，Ax+By+C=0,即消去 y,得 ax2+bx+c=0.F (x, y)=0当aM0时，设一元二次方程ax2+bx+c = 0的判别式为A,则A0o直线与圆锥曲线C 相交：A =0o直线与圆锥曲线C相切:A V0o直线与圆锥曲线C相
2、离.(2)当a=0, bM0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点, 此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行:若C为抛物线，则直 线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(kM0)的直线l与圆锥曲线C相交于A, B两点，A(x, y), B(x , y),贝卩1 1 2 2|AB|=；l+k2|XX2|=Jl+k2(x +x ) 24xx写1 T 2L2=：；1+右戊勺二吐亡卫卫匸三王例题精讲(考点分析)考点一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1(&匕0)的左焦点为F (
3、1, 1 a2 b210),且点P(0, 1)在q上.(1) 求椭圆q的方程；(2) 设直线l同时与椭圆C和抛物线C： y2 = 4x相切，求直线l的方程.12解(1)椭圆C的左焦点为F (1, 0),c=1,11又点P(0, 1)在曲线C1上,.2+右=1,得 b=1,则 a2=b2+c2 = 2.x2 所以椭圆勺的方程为+y2=1.、y=kx+m由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为y=kx+m, 消去 y，得(1 + 2k2) x2+4kmx+2m2 2 = 0.因为直线l与椭圆q相切，所以 A=16k2m24(1 + 2k2)(2m2 2) =0. 整理得2k2m
4、2+1 = 0.，y2 = 4x,由I消去 y,得 k2x2+ (2km4)x+m2 = 0.、y=kx+m因为直线l与抛物线C相切，2所以 d= (2km 4)24k2m2=0,整理得 km=1.综合，解得S所以直线l的方程为y=x+，,r2或y=x辺 规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程 组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式 的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件,用数形结合的方法求解.【训练1】在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1, 0)的距离比它到y轴的距离多1记 点M的轨迹为C.(1)
5、求轨迹C的方程；(2) 设斜率为k的直线l过定点P(2, 1),若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围.解 设点M (x, y),依题意| MF| = |x|+1,：、j (x1) 2+y2= |x| +1,化简得 y2 = 2(|x|+x).故轨迹C的方程为y2=，4x 20),0 (xV0).(2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C ： y2 = 4x(x0)； C : y=O(xVO).12依题意，可设直线l的方程为y l = k(x+2).fy-1=k (x+2), 由方程组(y2=4x,可得 ky24y+4(2k+1)=0. 当k=0时，此时y =1.把y =1代入轨迹
6、C的方程，得x=4.故此时直线l： y=1与轨迹C恰好有一个公共点4，1) 当 kM0 时，方程的 A = 16(2k2+k1)= 16(2k1)(k+1)， 设直线l与x轴的交点为(x, 0)，则由 y 1=k(x+2)，令 y=0,得 x=些严.AV0,1(i )若由解得kV 1,或kjX1时，直线l与曲线q没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点.CA=0,2k2+k1 = 0，(ii)若、小即 2k+1解集为.2，|飞一j或k=0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点.考点二 弦长问题x2 y2【例2】(2016 四川卷)已知椭圆E：計A1(ab0)的两个焦
7、点与短轴的一个端点是直 角三角形的三个顶点，直线l： y=x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1) 求椭圆E的方程及点T的坐标；(2) 设0是坐标原点，直线l平行于0T，与椭圆E交于不同的两点A, B,且与直线l交于 点P.证明：存在常数入，使得|PT|2 =入|PA|PB|，并求入的值.(1)解 由已知，a=“j2b,贝9椭圆E的方程为盍+*=1.| 竺+E=由方程组2b2 b2得 3x212x+(18 2b2)=0.y=x+3.方程的判别式为A=24(b2 3)，由A =0,得b2 = 3.x2 y2此时方程的解为x=2，所以椭圆E的方程为63=1-点T的坐标为（2,1）.证明 由已知可
8、设直线1的方程为y=+皿（皿工0）,y=#x+m,由方程组、y= x+3,可得2mx=22mly=】+亍I2m2m , 8所以 P 点坐标为(2,1+ .|PT|2=9m2.设点A, B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2, y2）.匕0)经过点(0，：3)，离心率为2，左、右焦点分别为F(c，0)，F(c，0).12(1)求椭圆的方程；(2)若直线l： y=-1x+m与椭圆交于A, B两点，与以.为直径的圆交于C, D两点，且满足|AB|5（3TCDT 4求直线i的方程.b=边，解 由题设知|C=1，解得a=2,a 2b2=a2c2，c=1.x2椭圆的方程为4=1.由知，以足为直径的圆的方
9、程为X2 + y2=1，圆心到直线l的距离d=，由dV1,得|m|/1 d2=21|m2=-j54m2设 A（x，y ），B（x，y ），1 1 2 21X2 y2l廿=】,y=2x+m, 得 X2mx+m2 3 = 0,由根与系数关系可得X+x2=m, XX2=m2 3.| AB| =m2.1 +m24 （m2 3）由陽普得4 m25 4m21，解得m=33，满足(*).直线l的方程为y=|x1边y=2X 3-考点三 中点弦问题【例3】(1)已知椭圆E： |+y2=1(ab0)的右焦点为F(3, 0),过点F的直线交E于A,B两点若AB的中点坐标为(1, 1),则E的方程为()36=127=
10、1y18=1已知双曲线X23=1上存在两点M, N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线 y2=18x上，贝9实数m的值为.解析(1)因为直线AB过点F(3, 0)和点(1,1),所以直线AB的方程为y=2(x3),代入椭圆方程a2+b2=1消去y,得4+b2)x2|a2x+|a2 a2b2=0,3即 a2=2b2,_ 产所以AB的中点的横坐标为石、=1，2l4+b2J又 a2 = b2+d，所以 b=c=3, a=3”2，选 D.设M(x , y ), N(x , y ), MN 的中点 P(x , y ),1 1 2 2 0 0Xj-寺=1,Sy2则 x232=1，x +x =2x
11、,1 2 0y1y2=2y0，由一得(卷一乂丿隨+气)=|(y2 y1)(y2 + y1),2 1 2 1 2 1 2 1显然沪备：三21宁=3，即k鸡=3,x xMN x2 1 0.M, N关于直线y=x+m对称，.kMN= 1， .y = 3x .又Ty =x +m,0 0 0 09代入抛物线方程得理2=18 解得m=0或一8,经检验都符合.答案 (1)D(2)0或8规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有气+yyx, y+y,三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求 212 xx12得斜率
12、.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.【训练3】设抛物线过定点A(1, 0),且以直线x=1为准线.,设弦MN的垂(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M, N,且线段MN恰被直线=直平分线的方程为y=kx+m,试求m的取值范围.解 设抛物线顶点为P(x, y)，则焦点F(2x1, y).再根据抛物线的定义得|AF|=2，即(2x”+y2=4, 所以轨迹C的方程为X2+=1.(2)设弦MN的中点为Pl2, y0l, M(xm,Ngy n),则由点M, N为椭圆C上的点, 20/M MN N可知4x2+y2=4,MM4x2 + y2 = 4.NN两式相减,得4(xm xn)(xm+xn) + (yMyN)(yM+yN) =0,= 1，yM+yN=2y0,将 xM+xN=2X泾一代入上式得k一即MN又点pf|，yj在弦MN的垂直平分线上,m.所以y0=所以 m=y03 =4y0.由点p*，yj在线段BBZ(BZ，B为直线x=|与椭圆的交点，如图所示)，所以yB, y0yB，也即一寸3丫0. 所以学m呼, 基
