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1、初探反函数引言对于函数的性质，如连续性、可导性，能否展开成幂级数进而进行近似计算等性质，人们研究得非常细致和广泛，如果我们能将反函数的有关性质像函数一样研究清楚，就可以直接处理一些有关的计算。本文主要介绍了反函数的两个基本性质和它们的几何意义，即反函数的可导性、可积性，以及它们在数学分析上的计算和应用，最后列举了反函数在实际生活中的一个应用。分析反函数的性质对我们进一步了解反函数有很大的帮助。1 反函数的基本概念如果对于函数y=f(x)的每一个确定的值y,自变量x都有唯一确定的值x和y对应，那么，就可以得到一个以y为自变量，以对应的x值为函数的函数，记为x=f (y)，这个函数叫做原来函数y=
2、f(x)的反函数，习惯上记为y= f (x)，反函数的定义域和值域分别为原来函数的值域和定义域.也可以利用集合和映射的来叙述反函数定义：如果映射f : xy=f(x)是由集合A到集合B的一一映射，那么，它的逆映射f:yx= f (y)所确定的函数x= f (y)叫做函数y=f(x)的反函数，习惯上记为y= f (x).反函数的定义域和值域分别是原来函数的值域和定义域，即集合B、A.如果将函数表达式看成曲线方程，则原函数与反函数的图象关于直线y=x对称的.2 反函数的微分可导性2.1反函数求导解析2.1.1 反函数求导定理及解析定理：若函数y=f(x)在点x的邻域连续；且严格单调，f(x)在点x
3、处可导，f (x)0,则函数y=f(x)的反函数x=(y)在点y也可导，并且有公式 (y)= (1 ) 即x （2）或者变化为f (x)= （3） y （4）分析：以公式（1）为主，我们对其进行讨论。 a）从自变量来看，公式（1）的左边是以y为自变量，x为因变量，x是y的函数。右边是以x为自变量，y为因变量，y是x的函数。事实上，引入变量无非就是规定了运算的始点和终点。这时，读者要扭转自变量只能是x，而y必是因变量的习惯定势思维。b) 从函数关系来看，公式（1）的左边是原函数y=f(x)的反函数关系f (x)，即x=(y),是函数关系的逆运算。（y）其实质是对运算关系中“”求导。右边很自然是对
4、原函数的原酸关系“f”求导。如果想在右边出现y，则求导后，利用原函数关系，或反函数关系转化，对应起来即可。c) 利用公式（3）可将对原函数的求导问题转化为对其反函数的求导，从而易于运算，利用已有的导数结论，方便解决新问题。2.1.2 反函数导数的几何解释 设函数y=f(x)的反函数存在，且f，则其反函数x= f（y）的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线，如图 关于函数y=f(x)在点x处的导数f (x)，其几何意义是曲线y=f(x)在点(x,y)处的切线l关于x轴的斜率，从而有f=tan,其中是切线l与x轴正向的夹角，同时记切线与y轴正向夹角为.关于函数x=f,在相应点
5、y处的导数为，其几何意义是曲线x= f在点(x,y)处的切线l，关于y轴正向的斜率，从而有=tan。由图可得tan=tan(即。对于其它的情形，也可以得同样的结果。第 1 页 （共 16 页）反函数的微分可导性2.1.3反函数求导例题例：求反正弦函数y=arcsin x 的导数解法1：欲求该函数的导数，可考虑使用公式（3）或（4）x0于是有：（arcsin x）=解法2：记I=arcsin(x+，由于 故sinII(所以= = =2.2 反函数可导的一个充分条件的探讨在有关微积分的教材中，关于求反函数的导数首先要限定它的直接函数某一区间内是（严格）单调的，即有结论：如果函数x=在某一区间I内（
6、严格）单调、可导，且，则它的反函数y=f(x)在对应区间I内也可导且.事实上，函数x=（严格）单调这一假设是分别隐含在函数可导且这2个条件之中，即假设函数x=(y)(严格)单调是多余的.2.2.1与函数单调性有关的2个定理定理1 设函数f(x)在某区间I上连续，则f(x)存在反函数的充分必要件是f(x)在区间I上（严格）单调.定理2 设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导且，则函数f(x)在a,b上（严格）单调.证明：显然f(a).这是因为如果f(a)=f(b)，有以知条件f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则由罗尔定理可知至少存在一点，使得f.这与以知矛盾.设f(a)f(b
7、),待证函数f(x)在a,b上（严格）单调增加.假设f(x)在a,b上非（严格）单调增加，即存在当时，有f( (f(x)=f(x)是不可能的，原因同上).（1） 若f(a)，由f(x) f(x),由f(x)f(b),又由f(x)f(b)时，可证得f(x)在a,b上（严格）单调减少.故函数f(x)在a,b上(严格)单调.2.2.2 反函数的导数 根据以上定理可以将反函数的导数叙述为以下2个定理. 定理3 设函数y=f(x)为函数x=的反函数，若在点y的某邻域内连续且，则函数f(x)在点x ()处可导且.证明：因为函数x=在点y的某一邻域内连续，且具有反函数y=f(x)，则由定理1可知函数x=在点
8、y的这一邻域内（严格）单调.设，则由的连续性可知，反函数的相应的点x的邻域内也连续，即当时，有，故.即反函数y=f(x)可导且.定理4 设函数x=在a,b上连续在(a,b)内可导且，则函数x=存在反函数y=f(x)，且在对应的区间c,d上连续，在(c,d)内可导，并且.证明：因为函数x=在a,b上连续，在(a,b)内可导且，由定理2可知，函数x=在a,b(严格)单调，又由反函数存在定理可知，在相应的区间c,d上必存在x=的反函数y=f(x)，且在c,d上连续.证明类似于定理3。反函数y=f(x)在(c,d)内可导且.例如：函数x=siny在-,上连续,在（-，）内可导且（siny）=cosy.
9、由定理4可知，在-1，1上x=siny存在反函数y=arcsinx且满足在-1，1上连续，在（-1，1）内可导，并且（arcsinx）=2.3 反函数微分性质的逆命题2.3.1 反函数微分性质告诉我们：若dy/dx的可微分函数y=f(x)(axb)具有单值连续的反函数x=,则此反函数也可微分，且有dx=d= (1)由此把反函数的微分公式逆推，我们可以得到如下的逆命题：定理1 设F（x）是f(x)的一个反函数，所以f(x)的无穷多个远函数就是不定积分且有 （2）证明：因为F(x)是f(x)的一个原函数，所以f(x)的无穷多个原函数就是不定积分且有其中c为任意成熟.若令c=0，则可得f（x）的一个
10、原函数F（x），不妨设为y=F(x),于是有.而y= F(x)的反函数应为x=F由反函数微分公式（1）可得 dx=dF= (3)在式（3）两边都除以f(x),即得 两边积分得所以命题得证，定理1成立.定理1告诉我们：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的倒函数1/f(x)的不定积分等于f(x)原函数反函数F的导函数两次方的不定积分.例如，计算.若设1/f(x)=，则其倒函数的不定积分为当令c=0，y=F（x）=2arcsin就是f(x)的一个原函数，其反函数为x=sin由于F的导函数为所以代入公式（2）可得即有 = =显然，当1/f（x）的不定积分易于f（x）的不定积分计算时，常常
11、可以考虑采用定理1的公式（2）来计算不定积分.由于直接函数y=F（x）与本意函数x =F是互为反函数（例如函数y=x，我们可以说：x =是y=x的反函数，也可以说y= x是x=的反函数），所以，若将定理1的结论反过来运用，即有推论 （4）由推论表明，某个函数的两次方的不定积分等于该函数反函数导函数的倒函数的不定积分.2.3.2逆命题的推广定理2 设F（x）是f（x）的一个原函数，并且F（x）具有连续可微的单值反函数x=F，则有 （n为整数）（5）证明：因为F（x）是f（x）的一个原函数，所以若令c=0，设y=F（x），则有x=F （6）由反函数微分公（1）可得于是有 ，即f（x）=所以f(x)
12、在式（6）两边同乘以f（x），可得f(x)dx=f(x) = = 两边积分得所以命题得证，定理2成立.定理2告诉我们，某个函数n次方的不定积分等于该函数反函数的导函数的（n-1）次方倒函数的不定积分.显然，当n= -1和n=2时的两种情况，就是上述的公式（2）和（4）.例如，计算 在该例中若设f(x)=secx,则当公式（5）中的n=4时，就有f(x)=(sec)= sec而 y=若令c=0，可取f（x）的一个原函数为y=F(x)=tgx则其反函数为 x=F所以 dx=dF由公式（5）有 = = =y+y =tgx +tg对于一些高次方的三角函数的不定积分，利用公式（5）可将其转化为多项式的积
13、分，给原积分的计算带来方便.再如，计算为常数.若设f(x)=tgx,因为当令c=0时，可得f(x)=tgx的一个原函数y=F(x)= -lncosx其反函数为x=F因为dx=dF =所以反函数导函数的（n-1）次方为又以知n为奇数，因此，比方设n=2k+1，于是由公式（5）得=+（-1）+（-1）=+（-1）+（-1） =+（-1）= +（-1）=+ （1）这样我们通过求tgx的一个原函数（lncosx）的反函数导数的（n-1）次方的倒函数的不定积分，最后求得tgx的n次方的不定积分.3 反函数的积分法和它的几何意义3.1 定理1 若函数y=f(x)在a,b上连续且严格单调，并用x=表示y=f(x)的反函数，则以下积分公式成立： =xy因为y=f(x)在a，b上连续，并严格单调，所以由连续函数的性质可推知：当x时，y=f(x)的反函数x=必存在，并且它也是连续的、严格单调的.由于连续函数是可积的，所以由分部积分公式可得：xf(x)显然有：y第 3 页 （共16页）反函数的积分法和它的几何意义在定理的条件下，设f(a)=c,f(b)=e则 =y利用定理的结论，并把通常换元法计算定积分的公式用到定理的三个公式中，得 =xy反函数积分法有十分明确的集
