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1、分析中考的几何计算题几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。一、三种常用解题方法举例例1. 如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC交于P，PEAB于E，AB=10，求PE的长。解法一：（几何法）连结OT,则OTCD，且OT=AB5,BC=OT=5,AC=BC是O切线，BC2 =CPCAPC=，AP=CA-CP=PEBC
2、 ，PE=5=4说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件。解法二：（代数法）PEBC， 设：PE=x，则AE=2x ，EB=102x连结PB。 AB是直径，APB=900在RtAPB中，PEAB，PBEAPE EP=2EB，即x=2（102x）解得x=4 PE=4说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系。解法三：（三角法）连结PB，则BPAC。设PAB=在RtAPB中，AP=10COS在RtAPE中，PE=APs
3、in, PE=10sinCOS在RtABC中, BC=5,AC= sin=,COS=PE=10=4说明：在几何计算中，必须注意以下几点：（1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系。（2） 注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化。（3） 注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用。二、其他题型举例例2. 如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切O于E，与BA的延长线交于F，求EF的长。分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质。本题可用代数法求解。解：连结OE，C
4、E切O于E， OECF EFOBFC，又OE=AB=BC，EF=FB设EF=x，则FB=2x，FA=2x2aFE切O于E FE2=FAFB，x2=（2x2a）2x解得x=a EF=a例3已知：如图，O1 与O2相交于点A、B，且点O1在O2上，连心线O1O2交O1于点C、D，交O2于点E，过点C作CFCE，交EA的延长线于点F，若DE=2，AE=（1）求证：EF是O1的切线；（2）求线段CF的长；（3）求tanDAE的值。分析：（1）连结O1A，O1E是O2的直径，O1AEF，从而知EF是O1的切线。（2）由已知条件DE=2，AE=，且EA、EDC分别是O1的切线和割线，运用切割线定理EA2=
5、EDEC，可求得EC=10。由CFCE，可得CF是O1的切线，从而FC=FA。在RtEFC中，设CF=x，则FE=x+。又CE=10，由勾股定理可得：（x+）2=x2+102，解得 x=。即CF=（3）要求tanDAE的值，通常有两种方法：构造含DAE的直角三角形；把求tanDAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：分别求出两线段（对边和邻边）的值；整体求出两线段（对边和邻边）的比值。解：（1）连结O1A，O1E是O2的直径，O1AEFEF是O1的切线。（2）DE=2，AE=，且EA、EDC分别是O1的切线和割线EA2=EDEC，EC=10由
6、CFCE，可得CF是O1的切线，从而FC=FA在RtEFC中，设CF=x，则FE=x+ 又CE=10由勾股定理可得：（x+）2=x2+102，解得 x= 即CF=（3）解法一：（构造含DAE的直角三角形）作DGAE于G，在RtAO1E中，O1A=4，O1E=6又DE=2，且DGA O1，又DGAE运用平行分线段成比例可求得DG=，从而tanDAE=解法二：（等角转化）连结AC，由EA是O1的切线知DAE=ACD CAD=900，可得ADECAE，即.从而tanACD=，即tanDAE=说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性。如本题（2）
7、求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长。 （2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握。例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交A于F，CM=2，AB=4。（1）求CF的长和AFC的面积；（2）求CF的长和AFC的面积。解：（1）四边形ABCD是矩形，CD=AB=4，在RtACD中，AC2=CD2+AD2（2+AD）2=42+AD2，解得AD=3（2）A作AGEF于G。BG=3，BE=ABAE=1CE=由CECF=CD2，得CF=又B=AGE=900，BEC=GEABCEGAE， ，即SAFC=CFAG=例5
8、.如图，ABC内接于O，BC=4，SABC=，B为锐角，且关于x的方程x24xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点（点D不与点A、C重合），DE平分ADC，交O于点E，交AC于点F。求（1）求B的度数；（2）求CE的长。分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化。解：（1）关于x的方程x24xcosB+1=0有两个相等的实数根=（-4cosB）2-4=0 ， cosB=，或cosB=-（舍去）又B为锐角 ， B=600（2） 点A作AHBC，垂足为H。 SABC=BCAH=BCABsin600=，解得AB=6在RtABH中，BH
9、=ABcos600=6=3，AH=ABsin600=6CH=BC-BH=4-3=1 在RtACH中，AC2+CH2=27+1=28 AC=，AC=（舍去）连结AE，在圆内接四边形ABCD中，B+ADC=1800，ADC=1200DE平分ADC，EDC=600=EAC又AEC=B=600，AEC=EAC，CE=AC=例6. 已知：如图，O的半径为r，CE切O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CDAB于D。如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x23（r2）x+ r24=0的两个实数根。求（1）AC、BC的长；（2）CD的长。分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得ECB
10、EAC，AC=2BC.又AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解。（2）CD是RtCDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则RtCDBRtCAF，据此可列式计算。解：（1）CE切O于C，ECB=A又E是公共角，ECBEAC，AC=2BC.由AC、BC的长是关于x的方程x23（r2）x+ r24=0的两个实数根AC+BC=3（r-2）；ACBC=r2-4，解得r=6，BC=4，AC=8（2）CO并延长交O于F，连结AF，则CAF=900，CFA=CBD CDB=900=CAFCAFCDB， CD=说明：（1）这是一道代数、几何的综合
11、题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算。 （2）构造与相似的直角三角形的方法还有许多种。例7. 如图，ABC内接于O，AB是O的直径，PA是过A点的直线，PAC=B。（1）求证：PA是O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=CEEB=65，AEEB=23，求AB的长和FCB的正切值。解：（1）AB是O的直径，ACB=900 CAB+B=900又PAC=B，CAB+PAC=900.即PAAB，PA是O的切线（2）设CE=6a ,AE=2x,则ED=5a，EB=3x由相交弦定理，得2x3x=5a6a x=a 连结AD，由BCEDAE，得连结BD，由BEDCEA，得BD=。由勾股定理得BC=，AD=。两边平方，整理得，AD= FCB=BAD，tanFCB= tanBAD=解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法。
