三角函数模型的应用

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1、精选优质文档-倾情为你奉上4.5三角函数模型的应用1如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助_来描述2三角函数作为描述现实世界中_现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行_而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题3y是以_为周期的波浪形曲线4太阳高度角、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：_.自查自纠：1三角函数2.周期函数拟合34.h0htan 已知某人的血压满足函数解析式f(t)24sin160t110.其中f(

2、t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为()A60 B70 C80 D90解：由题意可得f80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C. 某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为()A2sin2cos2Bsincos3C3sincos1D2sincos1解：四个等腰三角形的面积之和为411sin2sin.再由余弦定理可得正方形的边长为，故正方形的面积为22cos，所以所求八边形的面积为2sin2cos2.故选A. 在100 m的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为()

3、A. m B. mC. m D. m解：如图，设塔高为h m，则有100tan30(100h)tan60，h(m)故选A. 已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I5sin，t0，)，则这种交流电在0.5 s内往复运动的次数为_次解：f50，0.5 s内往复运动的次数为0.55025.故填25. 某市的纬度是北纬2134，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3 m，楼与楼之间相距15 m，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第_层的房(地球上赤道南北各2326处的纬线分别叫南北回归线冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上

4、)解：设最低高度为h0，则由题意知，太阳的高度角为9045，15，得h06.最低应选在第3层故填3.类型一建立三角模型如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)(1)求函数hf(t)的关系式；(2)画出函数hf(t)的图象解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆O1的切线为x轴，建立直角坐标系，设点A的坐标为(x，y)，则hy0.5.设OO1A，则cos，y2cos2.又t，所以y2cos2，hf(t)2cos2.5.(2)列表：t036912h0.52.54.52.50.5描点连线，即得函数

5、h2cost2.5的图象如图所示：点拨：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及由数到形的转化思想和作图技能，建立适当的直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解题的关键为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置P(x，y)若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()AysinBysinCysinDysin解：由题意，函数的周期为T60，.设函数解析式为ysin(秒针是顺时针走动)初始位置为P0，t0时，y.sin，可取.函数解析式为ysin.故选C.类型二根据解析式建立图象模型画出函数y|cosx|的图象并

7、过多长时间往复振动一次？(5)小球1s能振动多少次？解：(1)画出h2sin的简图(长度为一个周期)按五个关键点列表：t2t022sin02020描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得h2sin(t0)在一个周期的简图，如图所示(2)t0时，h2sin，即小球开始振动时的位置为(0，)(平衡位置的下方cm处)(3)tk(kN)时，h2；tk(kN)时，h2.即最高点位置，最低点位置，kN，最高点、最低点到平衡位置的距离均为2cm.(4)小球往复振动一次所需时间即周期，T3.14(s)(5)小球1s振动的次数为频率，f0.318(次/s)类型三三角函数拟合受日月引力影响，海水会发生涨落，在通常情

8、况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在不至搁浅时返回海洋，某港口水的深度y(米)是时间t(0t24，单位：时)的函数，记作yf(t)下面是该港口在某季节每天水深的数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0(1)根据以上数据，求出函数yf(t)的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5米，如果该船在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解：(1)根据数据画出散

9、点图，根据图象，可考虑用函数yAsin(t)h刻画水深与时间之间的对应关系，则周期T12，振幅A3，h10，y3sint10(0t24)(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于56.511.5(米)，即3sint1011.5，sint，2kt2k(kZ)，0t24，12k1t12k5(kZ)在同一天内取k0或1，则1t5或13t17.所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚下午17时出港，在港口最多停留16小时点拨：(1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目，由表中数据抽象出数学问题(求解析式、解不等式)，从而得出船在港内最多停留的时间，这一过程体现了数学建模的思想；(2)许多实际问题可以根据以前的记

10、录数据寻找模拟函数，再结合几个关键数据求出解析式某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24，单位：时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t/时03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从yatb，yAsin(t)b，yAcos(t)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在白天7 时19时当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间解：(1)(2)由(1)知选择yAsin(t)b较合适由图知，A0.4，b1，T12

11、，所以，把t0，y1代入y0.4sin(t)1，得0，所以所求的解析式为：y0.4sint1(0t24)(3)由y0.4sint10.8，得sint，则2k2k(kZ)，即12k1t12k7，所以0t7或11t19或23t24.即应安排在11时到19时训练较恰当1三角函数模型的三种模式在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此，可以用三角函数模型来描述如：气象方面有温度的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力变化等研究这些应用问题，主要有以下三种模式：给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题

12、；给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数，再解决其他问题；搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数式，进一步用函数性质来解决相应的实际问题2三角函数应用问题解题流程三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，利用三角函数的周期性、有界性等，可以解决很多问题，其解题流程大致是：审读题目，理解题意设角，建立三角函数模型分析三角函数的性质解决实际问题其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键3将图象和性质赋予实际意义在解决实际问题时，要具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活运用三角函数的

13、图象和性质1如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A2 s B sC0.5 s D1 s解：T1，来回摆动一次所需时间即为一个周期故选D.2电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(A0，0，0)的图象如图所示，则t秒时，电流强度I()A5安 B5安C5安 D10安解：由图知A10，T2()，100，I10sin.由于图象过点，代入解析式得1010sin(100)，即sin1，从而2k，2k，kZ.0，.I10sin.当t时，I10sin5.故选A. 3动点A(x，y)在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知时间t0时，点A的坐标是，则动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数表达式为()Aysint BysinCysint Dysin解：该函数的最小正周期T

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