任意角和弧度制教学设计

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1、教学设计 1.1 任意角和弧度制设计教师 李生一、内容及其解析（一）内容：任意角，弧度制（二）解析: 本节内容是必修4第一章三角函数的第一节，本章在锐角三角函数的基础上，利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，并用集合与对应的语言来刻画。这样，在研究三角函数之前，就由必要先将角的概念推广，并引入弧度制，从而建立角的集合与实数集之间的对应关系。利用集合直观有利于抽象概念的理解，教科书充分结合角和单位圆来引导学生了解任意角及弧度制概念，同时，还利用直角坐标系建立象限角的概念，使得任意角的讨论有了一个统一的载体，教学中，要特别注意利用单位圆，直角坐标系等工具，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题。弧

2、度制是选自人民教育出版社,普通高中课程标准实验教科书数学版必修4,第一章,第一小节第二课时内容，通过本节课的学习，学生将掌握角度的的另一种度量方式，为以后三角函数的引入做准备，因此本节概念课起着承上启下的作用。二、目标及其解析1结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；2能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；3能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示；4在角的概念的推广的过程中，树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；5通过正角、

3、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力；6通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；7.理解1弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算.8.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力三、问题诊断分析1学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；2学生在学习了教材例1后，做P6第4题，仍然感到困难，其原因是：当角为负角时，在003600范围内找出终边相同的角，不知怎样计算，教学时应给学生介绍计算方法；3学生在学习了象限角的概念后，怎样用集

4、合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释k3600的运用特点。4.本班级学生数学基础中等，学生平时学习需要在老师引导下才能较好的吸收新的知识5学生在学习本课以前，已经学习了角度的一种度量方式算，对角度有一定的认识四、教学支持条件分析 借助信息技术工具（如：几何画板），制作课件。【可参考人民教育出版社配套教师用书后的光盘中数学4的资源】1角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；2动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到

5、一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。五、教学过程设计（一）教学基本流程探究新知新知应用创设情境布置作业巩固新知深入探究总结归纳小结（二）教学情景1问题引入问题1：思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？设计意图：提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性师生活动：引导学生分析：(学生：针对上述问题，组织学生进行讨论。学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。教师：取出一个钟表,实际操作我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周

6、以上,这就是说角已不仅仅局限于003600之间，这正是我们这节课要研究的主要内容任意角.2探究新知，建立概念 (1) 任意角概念的引入问题2：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？ 设计意图：回顾已有知识师生活动：教师：提出问题学生：回答问题问题3：你能举出不在的角的实例，并加以说明吗设计意图：结合具体的实例，感受角的概念推广的必要性师生活动：教师：展示课件角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.学生：举例，再说明所举例的角为什么不在003600。教师：提供教材中的几个例子。(2)概念讲解1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的

7、端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角。其中射线OA叫角的始边，射线OB叫角的终边，O叫角的顶点。2正角、负角、零角概念师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。师：如图3，以OA为始边的角=-1500，=-6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、

8、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为. 师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？ 生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问

9、课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。答：1.不行，始边包括端点（原点）；2端点在原点上；3不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限

10、角是锐角吗？为什么？生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；师：（2）锐角就是小于900的角吗？生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；师：（3）锐角就是00900的角吗？ 生：锐角：|00900；00900的角：|00900.师：观察下列角你有什么发现? 390 -330 30 1470 -1770生:终边重合.师:请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。师：好！这位同学发现了两个同终

11、边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=23600+300；-6900=-23600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：33600+300-33600+30043600+300-43600+300，由此，我们可以用S=|=k3600+300，kZ来表示所有与300角终边相同的角的集合。师：那好，对于任意一个角，与它终边相同的角的集合应如何表示？生：S=|=+k3600，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。3.巩固新知，归纳关系问题4：已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象

12、限的角？ （1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角设计意图：通过练习，掌握象限角的判断、终边相同的角的表示方法。师生活动：学生：回答，讨论交流，补充教师：归纳总结，突出重点知, 解决学生的疑惑点。例1 设， ，那么有（D ）ABC（ ）D 例2用集合表示：（1）各象限的角组成的集合（2）终边落在 轴右侧的角的集合解：(1) 第一象限角：|k360ok360o+90o,kZ第二象限角：|k360o+90ok360o+180o,kZ第三象限角：|k360o+180ok360o+270o,kZ第四象限

13、角：|k360o+270ok360o+360o ,kZ（2）在 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠例3.写出终边直线在y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-36007200的元素写出来.设计意图：通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。师生活动：教师：分析、板书例1。学生：自学例2。教师：指出这两个集合求并集的关键是把2700改写成900+1800，然后重新组合。师生：共同完成例3，注意k的正确取值

14、是关键。教师：归纳总结，突出重点知, 解决学生的疑惑点。问题5：度量角的制度是什么？1度的角是怎么定义的？还有其它的度量角的制度吗？ 设计意图：引导学生进入弧度制的研究.师生活动：教师问：度量角的制度是什么？学生答：角度制教师问：1度的角是怎么定义的？能够准确回答这个问题的学生很少，通过教师的适当引导，学生有些恍然大悟。教师问：还有其它的度量角的制度吗？学生这时已经有些活跃起来，他们也急于了解这个课题。问题6：在圆心角一定的情况下，圆心角所对的圆弧长与所在圆的半径的比值是定值吗？设计意图：为了使得弧度制的层层深入学习，我还是把问题一个个呈现出来，让学生逐步认识弧度制。师生活动：教师问：在不同半

15、径的圆中，如果圆心角的大小相等，那么它们所对的圆弧长与所在圆的半径之比是否相等？学生共同探究，发现问题，并共同解决问题。教师总结：在圆心角一定的情况下，圆心角所对的圆弧长与所在圆的半径的比值是定值。教师对于问题的总结要使得学生意识到：学习不能只是停留在简单的解决问题中要善于深入挖掘问题，对于问题的认识更加深刻。教师问：既然圆心角所对的圆弧长与所在圆的半径的比值是定值，那么可以用这个比值来衡量角的大小吗？问题呈现到这个时候，大部分学生已经发现：可以用这个比值衡量角的大小。教师问：如何规定这个新制度下的“1”这个单位呢？问题的层层推进，思维活跃的同学已经禁不住回答这个问题：比值为1的情况下，可以规定为“1”这个单位。