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1、变上限积分形如 的积分，叫做变上限积分。定理1如果 在 上连续则在（a b上可积，而可积则在 上连续。定理2如果 在上有界，且只有有限个间断点，则 在（a , b）上可积。定理3如果 在 上连续，则在 上可导，而且有 。定理4设 连续，.如果 是奇（偶）函数，则 是偶（奇）函数；如果 是周期为 的函数，且,则是相同周期的周期函数.（I）从以上定理可看出，对 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函 数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性 质。而我们知道，可导函数 经过求导后，其导函数 甚至不一定是连续 的。（II）定理（3 ）也称为原函数存在定理。它说明：连续函
2、数必存在原函数，并 通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆 运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学 的问题。定理（ 3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整 体，有重要意义。重要推论及计算公式：推论1-推论2 推论3 -题型中常见积分限函数的变形和复合情况：（1 ）比如在求 时，先将右端化为 的形式，再对求导。分离后左边的部分要按照（uv） =u v + uv 进行求导！ （2）比如在求 时，先对右端的定积分做变量代换（把 看作常数），此时， ， 时， ； 时， ，这样， 就化成了以 作为 积分变量的积分下限函数：
3、然后再对 求导。（ 3 ） 比如（这是含参数 的定积分, 可通过变量代换将 变换到积分限的位置上去）在求 时，先对右端的定积分做变量代换 （把 看作常数），此时，时，时，于是， 就化成了以 作为积分变量的积分上限函数：然后再对 求导。关于积分限函数的奇偶性与周期性历年真题的零点个数为1 、设函数（2008，数一，4 分）解析】由于且，则 是唯一的零点，所以答案为12、设是连续函数的一个原函数，表示的充分必要条件是 ，则必有(A)是偶函数是奇函数。(B)是奇函数是偶函数。(C)是周期函数是周期函数。(D)是单调函数是单调函数。（2005，数一，4 分）【解析】若 是偶函数，由导数的基本结论“可导偶函数的导数为奇函数”可得到 是 奇函数。反之，若 是奇函数，则 为偶函数， 为 偶函数。因此答案为 A。3、设函数连续，（1）利用定义证明可导。（2）当是以2 为周期的函数时，证明函数 也是以 2 为周期 的函数。（2008，数一，10 分）【解析】(2) 对任意由于 是以 2 为周期的函数，因此所以故4、设连续，则一(A) (B)也是以 2为周期的函数。(C) (D)(1998，数一， 3 分)【解析】令，则则答案为(A )5、设函数连续，且讨论 在处的连续性。为常数，求 并(1997，数一， 8 分)解析】由于且函数 连续，则必有所以当 时，令在 处连续。
