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1、开关电路与布尔代数开关电路与布尔代数是根据教育部制订的普通高中数学课 程标准（实验） 选修系列4第10个专题“开关电路与布尔代数”的 要求编写的，根据标准的要求,教科书以开关电路设计为背景引 入一种类似数的对象并引入这些对象之间的运算.因为,在初中物理 中,我们都学习了基本电路串联电路和并联电路，已经熟悉了这 些电路的基本功能, 也能熟练地利用这些电路搭建较为复杂的电路， 那么能不能用数学来帮助我们刻画这些现象呢?于是,我们将对这种 新的运算系统进行探讨,得出类似于“数的运算”的各种性质，最后 应用这个数学理论, 彻底解决开关电路的设计问题，这就是本专题将 要解决的问题.本专题以设计由三人控制
2、一个电灯的电路为背景，从 开关电路设计，提出一个具体问题，将电路设计数学化为电路代数和 电路多项式，再数学地研究电路和电路多项式，完全解决最初提出的 问题,完整地给出一个电路代数的数学模型，这也是布尔代数的一个 实际应用,从中可感受到数学化的抽象过程，以及数学理论的应用价 值.一、背景知识介绍布尔代数又称逻辑代数，正是以它的创立者英国数学家乔治. 布尔（G.Boole）而命名.1815年生于伦敦的布尔家境贫寒，父亲是位 鞋匠，无力供他读书. 他的学问主要来自于自学. 年仅12岁，布尔就掌 握了拉丁文和希腊语，后来又自学了意大利语和法语.16岁开始任教以维持生活，从20岁起布尔对数学产生了浓厚兴
3、趣，广泛涉猎著名数 学家牛顿、拉普拉斯、拉格朗日等人的数学名著，并写下大量笔记. 这些笔记中的思想，1847年被用于他的第一部著作逻辑的数学分析 之中.1854年，已经担任柯克大学教授的布尔再次出版思维规律的 研究逻辑与概率的数学理论基础.以这两部著作，布尔建立了 一门新的数学学科. 在布尔代数里，布尔构思出一个关于0和1的代数系统，用 基础的逻辑符号系统描述物体和概念.这种代数不仅广泛用于 概率和统计等领域，更重要的是，它为今后数字计算机开关电 路设计提供了最重要数学方法. 布尔一生发表了50多篇科学论文、两部教科书和两卷数学 逻辑著作.为了表彰他的成功，都柏林大学和牛津大学先后授 予这位自
4、学的成才的数学家荣誉学位，他还被推选为英国皇家 学会会员.开关电路与布尔代数的关系信息论的创始人克劳德香农(CE. Shannon )对现代电子计算机的产生和发展有重要影响，是电子计算 机理论的重要奠基人之一，1938 年，香农发表了著名的论文继电 器和开关电路的符号分析，首次用布尔代数进行开关电路分析，并 证明布尔代数的逻辑运算，可以通过继电器电路来实现，明确地给出 了实现加，减，乘，除等运算的电子电路的设计方法这篇论文成为 开关电路理论的开端 香农在贝尔实验室工作中进一步证明，可以采用能实现布尔代数运算的继电器或电子元件来制造计算机，香农的理论还为 计算机具有逻辑功能奠定了基础，从而使电子
5、计算机既能用于 数值计算，又具有各种非数值应用功能，使得以后的计算机在 几乎任何领域中都得到了广泛的应用. 1840 年取得了博士学位，香农在 AT&T 贝尔实验室里度过了 硕果累累的 15年.他用实验证实，完全可以采用继电器元件制 造出能够实现布尔代数运算功能的计算机.1948年，申龙又发 表了另一篇至今还在闪烁光芒的论文通信的数学基础， 从而给自己赢来“信息论之父”的桂冠. 1956 年，他参与发起了达特默斯人工智能会议，成为这一新学 科的开山鼻祖之一.他不仅率先把人工智能运用于电脑下棋方 面，而且发明了一个能自动穿越迷宫的电子老鼠，以此证明计 算机可以通过学习提高智能. 计算机运行的时候
6、，程序就象一系列或真或假的命题，当命题 进入电路时，按布尔代数他们将电路打开或关闭，例如当两个 真的命题进入一个电路时.电路打开，但是当一个真的命题和 一个假的命题进入一个电路时，电路关闭，利用布尔代数，我 们就可以把数以百计的电路结合起来，并编写出充满想象力的 计算机应用程序.今天，布尔代数已成为我们生活中的一部分，因为我们的汽车、 音响、电视和其它用具中都有计算机技术，它几乎无处不在， 无所不能.实际上大多数人还没有意识.二、开关电路开关电路就是由开关经多次并联、串联与反演所得到的电路. 每 一开关有两种状态:通和不通,每一电路也有两种状态: 通和不通.下 面将用小写英文字母表示开关, 大
7、写英文字母表示电路, 但由一个 开关a组成的电路，仍记作a并联和串联电路我们在初中就见过了， 已经很熟悉了，现简单说下电路的反演，它就是指在开关1 “通”时, 电路A的状态是“不通”，开关a “不通”时，电路A的状态是“通”， 这样的电路在物理上是可以实现的.一般地对任意电路A , B也可经并联,串联或反演得到新的电路, 它们顺序记作“A并联B”、“A串联B”、“A的反演”原来A、 B 的状态与这些新作成的电路的状态之间的关系列表如下:电路A电路BA并联B通通通通不通通不通通通不通不通不通电路A电路BA串联B通通通通不通不通不通通不通不通不通不通电路AA的反演通不通不通通我们已很习惯数学中常用
8、的符号化方法. 只要把上面各表中的 状态“通”、“不通”用简单符号表示,就能大大简化. 我们借用数字 “1”表示“通”,借用数字“0”表示“不通”. 当然在这里“1”, “0”已失去原来的数字意义, 只是代表“通”,“不通”.我们再进一 步符号化，而将用“+”表示“并联”，用“ ”表示“串联”，用“-” 表示“反演”，这样A + B就是“A并联B” , AB就是“A串联B” , A就是“A的反演”，于是我们就有：ABA + B111101011000现在来看看经过这些符号化后，我们能得什么.任何一个电路，(如图)，可表成一个“代数”式a - b)+ (c - d 力当然每一个类似上面这样由一些
9、小写字母(表示开关)经“+”, “”，“-”，以及适当的括号连接起来的式子也给出一个电路来.欲知电路A的效应，例如当a = 1 (开关a处于“通”状态),b = 0 , c = 1 , d = 1时A的状态是什么，只把这些值代入上面的式子，按照 上表提供的规则进行计算一下便得,这就是:(1 0) + (1 1) + 1 = (0 + 1) + 0 = 1 +0 = 1 ,即此时A的状态是“通”在本节最后,我们提出下面一个具体问题: 设计一个使三个人控制一个电灯的电路 也就是说,设计一个由三个开关a , b , c组成的电路A = f ( a , b , c)使得任一开关状态的改变都使电路A =
10、 f （ a , b , c）的状态改变，即实现下表效应的电路AabcA = f ( a , b , c)00000011010101101001101011001111这是电路设计最基本最重要的问题:实现我们所要求效应的电路.我们将在下一节完全解决这一问题.三 布尔（Boole）代数1.布尔代数在上一节开关电路的介绍之后, 在数学中引入下面定义就是水到 渠成的事了:定义1 设集合B = 0 ,1在集合B上规定三个运算，分别记作“+” （加）,“”（乘）,“-”（非），如下：+ : 0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 1: 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 =
11、1-:0 = 1i =0集合B连同这三个运算一起B = 0 ,1 , + ,，-称之为布尔代数.把新定义的布尔代数和我们熟悉的整数系相对比.这里的B =0 ,1相当于整数集Z= 0 , 1 , 土2，讣,B的加法“+”(“”)可 和Z的加(乘)法对比.B中还有运算”，这是Z中没有的.这一简 单对比使我们想到数的加法,乘法适合交换律, 结合律, 还有乘法对 加法的分配律, 而这些算律在我们进行计算时提供很大方便. 现在来 看一看,这些算律对布尔代数是否成立.和初中代数中用字母a , b , c，“，代数任意数一样，我们对布尔代 数B也引入变元a , b , c，但这里该提醒的是:B上的变元只能代
12、表 B 中的元素,即0 或1.今证布尔代数中加法，乘法适合交换律和结合律,即证在B中有:a + b = b + a , a b = b a( a + b) + c = a + ( b + c) ,(1)( a b) c = a ( b c)在数学证明之前,我们看一下( a b) c = a ( b c) 在开关电路中说明什么(ab)c可解释为开关电路I,而a(bc)可解释为开关电路U一眼就看出,这两个电路是等效的，这说明(ab) = a bc) 你可以把这个说明看成B中乘法适合结合律的“物理证明”,也可以 把这个电路背景的说明看成是物理上强烈支持这个数学结果,因而仍 需要一个数学证明.下面给出
13、(a - b) - c = a - ( b - c)的数学证 明，这就是验算,当a , b , c 取B = 0 ,1中任意值时,(ab)c都等 于a ( b - c)，这可从下表中看出abc(a b) ca ( b c)000(0 0) 0 :=0 0=00 (0 0) = 0 0=0001(0 0) 1 :=0 1=00 (0 1) = 0 0=0010(0 1) 0 :=0 0=00 (1 0) = 0 0=0011100101110111(1 1) 1 =1 1 =11 (1 1) = 1 1 =1这里我们严格地按照定义1 中的规定进行讨论的,在数学上定义1是我们对布尔代数B进行讨论的
14、唯一依据类似地可以给出 中其它三个等式的数学证明(以及“物理证明”) .把布尔代数与数系相对比,数系还提示我们:应该考虑考虑乘法对 加法的分配律是否在布尔代数B中也成立，有趣的是，不但在B中 a ( b + c)= a - b + a - c成立，并且也有加法对乘法的分配律,a + (bc) = ( a + b)(a + c)，它们的数学证明以及“物理证明”我们 类似可以一样地完成.把布尔代数与开关电路相联系, 物理也会给我们一些启示,那样 一些等式在布尔代数B中可能是对的，例如，两个开关a并联和由一 个开关a作成的电路是等效的，这提示我们a + a = a在B中该是对的， 类似地aa = a在B中也该是对的.下面定理汇集了布尔代数中常用的基本等式:定理1在布尔代数B = 0 ,1 , + ,，-中下列等式成立;1) a + b = b + a (加法交换律) ,a b = b a (乘法交换律)；2) ( a + b) + c = a + ( b + c) (加法结合律) ,(
