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1、最优化课程设计-共轭梯度法算法分析与实现（设计程序）题目 共轭梯度法算法分析与实现班级 / 学号 14140101/2011041401011 学 生 姓 名 黄中武 指 导 教 师 王 吉波 王微微课程设计任务书课 程 名 称 最优化方法课程设计 院（系） 理学院 专业 信息与计算科学课程设计题目 共轭梯度法算法分析与实现 课程设计时间: 2014 年 6 月 16 日至 2014 年 6 月 27 日课程设计的要求及内容:要求1. 学习态度要认真，要积极参与课程设计，锻炼独立思考能力; 2. 严格遵守 上机时间安排;3. 按照 MATLAB 编程训练的任务要求来编写程序;4. 根据任务书来
2、完成课程设计论文;5. 报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计报告撰写规范”; 6. 报告上交时间:课程设计结束时上交报告;7. 严禁抄袭行为，一旦发现，课程设计成绩为不及格。一、 运用共轭梯度法求解无约束最优化问题要求:1）了解求解无约束最优化问题的共轭梯度法;2）绘出程序流程图;3）编写求解无约束最优化问题的共轭梯度法 MATLAB 程序;4）利用编写文件求解某无约束最优化问题;5）给出程序注释。指导教师 年 月 日负责教师 年 月 日学生签字 年 月 日沈阳航空航天大学课程设计成绩评定单课 程 名 称 最优化理论与算法课程设计 院（系） 理学院 专业 信息与计算科 学 课程设计题
3、目 共轭梯度法算法分析与实现 学号 2011041401011 姓名 黄中武 指导教师评语:课程设计成绩指导教师签字年月日最优化方法课程设计 沈阳航空航天大学 课程设计用纸 目 录 目录一、正文 1二、总结 8 参考文献 9 附录 10第I页最优化方法课程设计 沈阳航空航天大学 课程设计用纸 正 文一、正文一 无约束最优化问题的共轭梯度法共轭梯度法最初是由 Hesteness 和 Stiefel 于 1952 年为求解线形方程组而提 出的。后来，人们把这种方法用于求解无约束最优化问题，使之成为一种重要的最 优化方法。下面，重点介绍 Fletcher-Reeves 共轭梯度法，简称 FR 法。共
4、轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度 构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点。根据共轭梯 度方向的基本性质，这种方法具有二次终止性。首先讨论对于二次函数的共轭梯度 法，然后再把这种方法推广到极小化一般函数的情形。考虑问题TTmi fx(),，0.5xAxbxcn其中A是对称正定矩阵，c是常数。具体求解方法如下:(1)首先，任意给定一个初始点，计算出目变函数在这点的梯度， fx()xg 若 =0 ，则停止计算，否则，令 1(1)(1)dfxg,() 1(1)(2)(2),0沿方向搜索，得到点，计算在处的梯度，若g,则利用dxx2(1)(2)(2
5、)和构造第二个搜索方向，再沿搜索。 ,gddd2()k()k()k()k 一般地，若已知点和搜索方向，则从出发，沿进行xdxd搜索，得到(1)()()kkk， xxd,， , k其中步长满足 ,k()()kk()()kkfxd()， ,fxd()， ,min k此时可求出的显式表达。令 ,k()()kk,()(),， fxd,()求得极小点，令(1)()kTk，,()()0,fxd第 1页最优化方法课程设计 沈阳航空航天大学 课程设计用纸 正 文 根据二次函数 的梯度表达式，即(1)()kTk， ()0Axbd，,T()()kkk Axdbd(+)0,，,kT()()kk (10.3.16)
6、gAdd，,0,()kk由(10.3.16)式得到Tk()gd()()kTkk (10.3.17) ,dAdk(1)k,计算在处的梯度，若，则停止计算；否则，用fx()g,Ox,gk, 1k, 1()k(1)k, (1)k, ()k和构造下一个搜索方向，并使和关于A共轭。按此设 dddd想,令(1)()kk, dgd, , (10.3.18) kk, 1()kT上式两端左乘，并令dA()(1)()()()kTkkTkTk, dAddAgdAd, ,0 kk, 1由此得到()kT()()kTk,dAg (10.3.19) dAd， kk1(1)k, (1)k，再从出发，沿方向搜索xd 综上分析，
7、在第一个搜索方向取负梯度的前提下，重复使用公式(10.3.14)，(10.3.17)， (10.3.18)和(10.3.19)，就能伴随计算点的增加，构造出一组搜索方 向。第 2页最优化方法课程设计 沈阳航空航天大学 课程设计用纸 正 文 二 程序流程图开始输入初始点 x0精度 e继续迭代满足精度要 N求Y输出迭代结果结束图一 共轭梯度法程序流程图三 共轭梯度法的 MATLAB 程序function x,val,k=frcg(fun,gfun,x0)maxk=5000;rho=0.6;sigma=0.4;k=0;epsilon=1e-7;n=length(x0);while (k=0)d=-g
8、;endendif (norm(g)epsilon)break;endm=0;mk=0;while (m20)if(feval( fun ,xO+rho八m*d)feval( fun ,xO)+sigma*rho八m*g*d)mk=m;break;endm=m+1;endxO=xO+rho八mk*d;val=feval(fun,x0);g0=g;d0=d;k=k+1;end第 4页最优化方法课程设计 沈阳航空航天大学 课程设计用纸 正 文 x=x0; val=feval(fun,x);function f=fun(x)f=100*(x(1厂2-x(2)厂2+(x(1)T厂2；function
9、g=gfun(x)g二400*x(1)*(x(1厂2-x(2)+2*(x(1)T),-200*(x(1厂2-x(2)四 利用所编程序求解实际问题222mifxxxx()100*()(1), ，, 例 n121*Txfx, , (1, 1) , () 0该问题有精确解利用所编程序求解此问题，在命令窗口输入：zQ= 1.2： |jc, val, k=fregfunffttfi* 如)运行结果为：1. oocoI.0000val =6. 7224e-017k =第 5页最优化方法课程设计 沈阳航空航天大学 课程设计用纸 正 文 五 程序注释 function x,val,k=frcg(fun,gfu
10、n,x0)%用FR共轨梯度法求解无约束问题:min f(x) %输入：x0时初始点，fun, gfun 分别是目标函数和梯度输出：x, val分别是近似最优点和最优值，k是迭代次 数。maxk=5000;%最大迭代次数rho=0.6;sigma=0.4;k=0;epsilon=1e-7;n=length(x0);while (k=0)d=-g;endendif (n orm(g)epsilo n)% 检验终止条件break;endm=0;mk=0;while (m20)第 6页最优化方法课程设计 沈阳航空航天大学 课程设计用纸 正 文if(feval( fun ,xO+rho八m*d)feva
11、l( fun ,xO)+sigma*rho八m*g*d)mk=m;break;endm=m+1;endxO=xO+rho八mk*d;val=feval(fun,x0);g0=g;d0=d;k=k+1;endx=x0;val=feval(fun,x);function f=fun(x)仁100*(x(1厂2-x(2)厂2+(x(1)-1厂2；%需要求解的函数function g=gfun(x)g二400*x(1)*(x(1厂2-x(2)+2*(x(1)-1),-200*(x(1厂2-x(2)% 梯度第 7页最优化方法课程设计 沈阳航空航天大学 课程设计用纸 正 文二、总结不知不觉，一个学期就这样
12、过去了，随着期末尾声的到来，最优化这 门课也已经结课了，接着而来的是为期两个星期的课程设计。作为信息与计算科学系的一员，我们在课堂上接触最多的就是理论部分，刚好 课程设计可以给我们验证理论，联系实际的机会，所以，这次课程设计，我一直都 在认真完成。在拿到自己的课程设计题目的时候，我对它进行了一定时间的审题， 题目中要求我用共轭梯度法求解无约束优化问题， 所以我拿到课本，仔细地看了 共轭梯度法的原理与例题求解，以便帮助我更好的理解共轭梯度法的应用。我记得，再一次研究生面试中，有的老师问过考生:你在你的大学生涯中学到 了什么, 如果让我回答，我会说:我学到了一种发现问题与解决问题的方法，这种方 法
13、是在我的学习中慢慢形成的一种潜移默化的思想，关于学到的内容，我们不会一 直保留太清晰的记忆，也不会在以后的生活中用到太多，就像买菜不会用到微积 分，不会求导，但是，数学方法和思想给我们思考问题所带来的方法论却是大有裨 益。这次课程设计，我发现我的很多不足，比如在 MATLAB 上的应用上，我还不熟 练，这与我在平时的练习中没有加以重视有关，而且在最优化的很多知识点 上，自己还没有很好地掌握。最后 ，我要感谢我们的任课教师王吉波老师，感谢他在给我们上课中的带来 的幽默感和知识的传授。在此，祝愿老师身体健康，工作顺利。完稿日期: 2014 年 6 月 21 日第 8页最优化方法课程设计 沈阳航空航天大学 课程设计用纸 参考文献参考文献1陈宝林.最优化理论与算法M.北京，清华大学出版社,2013. 2刘卫国.MATLAB程序设计教程M.北京，中国水利水电出版社,2010. 3马昌凤. 最优化方法及其MATLAB程序设计M.北京，科学出版社,2010.第 9页最优化方法课程设计 沈阳航空航天大学 课程设计用纸 附 录附录源程序:function x,val,k=frcg(fun,gfun,x0)maxk=5000;rho=0.6;sigma=0.4;k=0;epsilon=1e-7;n=length(
